Mavzu: Chiziqli tеnglamalar sistеmasi

9-§. Rikkati tenglamasining maxsus ko’rinishi

Ushbu
(1)

tenglamaga Rikkati tenglamasining maxsus ko’rinishi deyiladi. Bu yerda va o’zgarmas sonlar. Biz sonining qanday qiymatlarida (1) differensial tenglamaning umumiy yechimi elementar funksiyalarda topilishi mumkinligini o’rganamiz.
Avvalo eng sodda hollarni qaraymiz:
1. Aytaylik, bo’lsin. Bu holda (1) differensial tenglama
(2)
ko’rinishga keladi. Bundan ushbu

tenglikni topamiz. Bu esa (2) differensial tenglamaning umumiy yechimi elementar funksiyalarda ifodalanishini ko’rsatadi.
2. Aytaylik, bo’lsin. Bu holda (1) differensial tenglama
(3)
ko’rinishni oladi. Ushbu

almashtirishdan foydalansak, (3) differensial tenglama
(4)
ko’rinishni oladi. Bu esa bir jinsli differensial tenglamadir. Quyidagi

almashtirish natijasida (4) differensial tenglama o’zgaruvchilari ajraladigan

differensial tenglamaga keladi. Bundan ko’rinadiki, (3) differensial tenglamaning umumiy yechimi elementar funksiyalar orqali ifodalanadi.
3. Agar

butun son bo’lsa, (1) differensial tenglama kvadraturada integrallanadi.
10-§. Rikkati va ikkinchi tartibli chiziqli differensial tenglama orasidagi bog’lanishlar

1. Avvalo, ushbu

(1)
Rikkati differensial tenglamasida quyidagi
(2)
almashtirish bajaramiz. Buning uchun (2) tenglikning ikki tarafini differensiallab
(3)
topamiz. (2) va (3) tengliklardan foydalanib, (1) differensial tenglamani quyidagicha yozamiz:

Bu tenglamaning ikki tomonini ga ko’paytirib,

munosabatni olamiz. Bundan

kelib chiqadi. Bu differensial tenglamani
(4)

ko’rinishda yozib olamiz va
(5)
almashtirish bajaramiz. Bu almashtirishning ikki tomonini differensiallab

topamiz. Oxirgi tenglikdan va (5) almashtirishdan foydalanib, (4) tenglamani

ya’ni
(6)
ko’rinishda yozish mumkin. Bu esa ikkinchi tartibli chiziqli differensial tenglamadir.
2. Ko’p hollarda, ayniqsa tatbiqiy ahamiyatga ega bo’lgan masalalarda ikkinchi tartibli chiziqli differensial tenglamaning ayrim yechimlarini topish va uning xossalarini o’rganish uchun uni Rikkati tenglamasiga keltiriladi. Shu maqsadda ushbu
(7)
chiziqli differensial tenglamada
(8)
almashtirish bajaramiz. Buning uchun (8) tenglikning ikki tomonini differensiallab
(9)
munosabatni hosil qilamiz. (7) tenglamadan

ekanligini hisobga olsak, u holda (9) differensial tenglama
(10)
ko’rinishni oladi. Bu esa Rikkati differensial tenglamasidir.