Mavzu: Bog‘liqsiz tasodifiy miqdorlar seriyasi uchun katta sonlar qonuni. Reja: I kirish II asosiy qism

4-teorem a (Xinchin teoremasi)._{ } bogcliqsiz bir xil taqsimlangan tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi bolib, M_{ } = a<_{ } bolsin. U holda ular katta sonlar qonuniga bo‘ysinadi, ya ’ni
_{ }(5)
Isboti. Teoremani xarakteristik funksiyalar metodi yordamida isbotlaymiz. Shu maqsadda _{ } belgilashlar kiritamiz. U holda M_{ } va xarakteristik funksiyalarning xossasiga ko‘ra _{ }=1+_{ }
Shu bilan birga (5) shart
_{ } (6)
shartga ekvivalent ekanligi ravshan. Quyidagi tengliklar o‘rinli:
_{ }=_{ }=_{ 
 } shartni qanoatlantiruvchi tasodifiy miqdor
bolsin. U holda _{ }=f(t)=1 boladi. Bundan teskari lim it teorem aga ko‘ra ,
_{ }oxirgi munosabatdan esa 6-xossaga ko‘ra Xinchin teoremasining isboti kelib chiqadi.
Bog‘liqsiz tasodifiy miqdorlar seriyasi uchun katta sonlar qonuni
9-ta’rif. (_{ }) - ixtiyoriy ehtimollar fazosida _{ } tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi berilgan bolsin. A gar n_{ } da

bo'lsa, u holda _{ } tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi Bog‘liqsiz tasodifiy miqdorlar seriyasi uchun katta sonlar qonuniga boksunadi deyiladi.
5-teorema (G ayek-Reni tengsizligi). Agar tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi bogliqsiz, M_{ } = a, D_{ } va _{ }, _{ }. . . - manfiy bolmagan sonlarning o‘smaydigan ketma-ketligi bolsa, u holda ixtiyoriy _{ } > 0 va barcha
m ,n _{ } N,m< nsonlar uchun
P(_{ })
tengsizlik o'rinli.
Isboti. Quyidagi belgilashlarni kiritamiz:
_{ })+_{ }
η tasodifiy miqdorning matematik kutilmasini hisoblab, uni
qulay shaklga keltiramiz
_{ })M 
Qandaydir _{ } > 0 uchun quyidagi hodisalarni qaraymiz:

_{ }hodisalar birgalikda bolmagan hodisalar bolgani sababli
P_{ }
Agar M_{ } ekanligini ko‘rsatsak, teorema isbotlanadi. Ko‘rish mumkinki,
M_{ }