Mavzu: Bog‘liqsiz tasodifiy miqdorlar seriyasi uchun katta sonlar qonuni. Reja: I kirish II asosiy qism

Xosmas integralning chiziqliligi

1 – xossa. Agar _{ } va _{ } funksiyalardan _{ } oraliq bo’yicha olingan xosmas integrallar yaqinlashuvchi bo’lsin. U holda _{ 
 } funksiyadan _{ } oraliq bo’yicha olingan xosmas integral ham yaqinlashuvchi bo’ladi.

2. 
   N’yuton – Leybnis formulasi.
   

2 – xossa. Agar _{ } funksiya _{ } oraliqda uzluksiz va F(x) – funksiya uning boshlang’ich funksiyasi bo’lsin, u holda _{ } xosmas integral yaqinlashuvchi bo’lishi uchun

limitning mavjud bo’lishi zarur va yetarli, hamda

tenglik o’rinli.
Isbot: _{   }funksiya _{ } kesmada uzluksiz bo’lganligi uchun

N’yuton – Leybnis formulasi o’rinli. Bu yerdan _{ } da limitga o’tsin _{ } ni hisobga olib _{ } formulani olamiz. _{ } formula xosmas integrallar uchun N’yuton – Leybnis formulasi deyiladi.

_{ } ning o’ng tomonidagi ifoda ko’pincha
_{ } ; _{ } yoki _{ } ; _{ } kabi yoziladi.

3. 
   Bo’laklab integrallash.
   

3 – xossa. u(x) va v(x) funksiyalar [a; b) oraliqda aniqlangan bo’lib,
_{   } kesmada uzluksiz hosilalarga ega bo’lsin. Agar _{ } mavjud bo’lib, _{ } integral yaqinlashuvchi bo’lsa, u holda _{ } xosmas integral ham yaqinlashuvchi bo’ladi va

bo’laklab integrallash formulasi o’rinli.
Isbot. _{ } funksiyalar _{   } kesmada uzluksiz bo’lganligidan Riman integrali uchun quyidagi bo’laklab integrallash formulasi o’rinli.

_{ } formulaning o’ng tomonida turgan ifodaning shartga ko’ra _{ } dagi limiti mavjud. Demak, _{ } ning chap tomonida turgan ifodaning ham limiti mavjud bo’ladi, ya’ni _{ } xosmas integral yaqinlashuvchi bo’ladi va _{ } formula o’rinli bo’ladi.

4.