Mavzu: Bog‘liqsiz tasodifiy miqdorlar seriyasi uchun katta sonlar qonuni. Reja: I kirish II asosiy qism

Isboti. Yetarliligi. Quyidagi belgilashlami kiritamiz _{ }funksiya har qaysi n uchun Borel funksiyasi bolgani sababli_{ } bogliqsiz tasodifiy miqdorlar ketma-ketligidan iborat. _{ } bolsin. U holda
_{ }=_{ }-a=_{ }
tenglik o‘rinli. Teorema shartining yetarliligini isbotlash uchun har uchala qo'shiluvchi ham nolga 1 ehtimol bilan yaqinlashishini ko‘rsatamiz, Uchinchi had uchun
_{ }M_{ }
ammo
M(_{ }
U holda Shtols teoremasidan.

_{ }hodisa kiritamiz. U holda, M_{ }<_{ } bo'lgani sababli, avvalgi lemmaga ko‘ra, har bir n uchun

Songra

bolgani sababli Р(_{ }) = 0, ya’ni chekli sondagi n uchun _{ }
Demak,

Endi

munosabatning o‘rinli ekanligini ko‘rsatamiz. Buning uchun, Bog‘liqsiz tasodifiy miqdorlar seriyasi uchun katta sonlar qonuni bajarilishining yetarlilik shartini beruvchi
6- teoremadan foydalanamiz. Buning uchun

ekanligini isbotlaymiz.
_{ }
Riman integrali tushunchasi chegaralangan va kesmada aniqlangan funksiyalar uchun berilgan edi. Chegaralanmagan funksiyalardan va cheksiz oraliqlar bo’yicha ham integral tushunchasini kiritish masalasi haqidagi savol ham tabiiy ravishda tug’iladi.
1.Cheksiz oraliq bo’yicha integral tushunchasi _{ } funksiyani _{ } oraliqda qaraylik. Bu funksiya _{   } kesmada Riman ma’nosida integrallanuvchi, ya’ni

integral mavjud.

ham mavjud. Bu limit _{ } funksiyadan _{ } oraliq bo’yicha olingan integral deyiladi va

ko’rinishda yoziladi. _{ } – sonini _{ } funksiya grafigi va koordinata o’qlari bilan chegaralangan figuraning yuzasi sifatida qarash mumkin.
Endi cheksiz oraliq bo’yicha olingan integral tushunchasini kiritamiz.
_{ } funksiya _{ } oraliqda aniqlangan bo’lsin. Bu funksiya _{   } kesmada Riman ma’nosida integrallanuvchi, ya’ni

integral mavjud bo’lsin. Agar

mavjud bo’lsa, u holda bu limit _{ } funksiyadan _{ } oraliq bo’yicha olingan xosmas integral (birinchi tur xosmas integrali) deyiladi va

kabi belgilanadi. Bu holda _{ } funksiyani _{ } oraliqda xosmas ma’noda integrallanuvchi deyiladi. Demak, ta’rif bo’yicha

Bu holda _{ } – xosmas integral yaqinlashuvchi deyiladi.
_{ } oraliqda integral tushunchasini ham kiritish mumkin:

Nihoyat _{ } da xosmas integral tushunchasini kiritamiz:

Bu yerda _{ } funksiyadan ixtiyoriy _{ } segmantda Riman ma’nosida integrallanuvchanligi talab qilinadi. Agar (3) limit mavjud bo’lsa, u holda xosmas _{ } integral yaqinlashuvchi, aks holda uzoqlashuvchi deyiladi. (3) limit _{ } va _{ } larning mos ravishda _{ } va _{ } ga qanday usulda intilishiga bog’liq emasligini ta’kidlash lozim. Boshqacha aytganda integral yaqinlashuvchi bo’lishi uchun

limitlarning mavjud bo’lishi zarur va yetarli _{ }. Bu holda _{ } bo’ladi:

2. Chekli oraliq bo’yicha olingan xosmas integral tushunchasi:
_{ } funksiyani qaraylik. Bu funksiya [0;1) da uzluksiz, ammo u chegaralanmagan _{   } kesmada Riman ma’nosida integrallanuvchi bo’ladi:

Bu yerdan esa

Bu limitga ya’ni 2 soniga _{ } funksiyadan [0; 1) oraliq bo’yicha olingan xosmas integral (ikkinchi tur xosmas integral) deyiladi va

kabi belgilanadi.

2.