Mavzu: Bog‘liqsiz tasodifiy miqdorlar seriyasi uchun katta sonlar qonuni. Reja: I kirish II asosiy qism

1-natija (Kolmogorov tengsizligi). Agar bog‘liqsiz tasodifiymiqdorlar ketma-ketligi _{ } chekli matematik kutilma hamda chekli dispersiyaga ega bo'lsa, u holda
P(_{ }
Isboti. Gayek-Reni tengsizligida _{ }deb olsak, 2-natijaning isboti kelib chiqadi.
Kolmogorov tengsizligini
P(_{ }
ko‘rinishda qayta ifodalash mumkin.
6-teorema. Agar _{ }bogliqsiz tasodifiy miqdorlar bo‘lib, _{ }=0, _{ } va _{ } bo‘lsa, u holda

munosabat o‘rinli, ya’ni bu ketma-ketlik uchun kuchaytirilgan kata sonlar qonuni o‘rinli.
Isboti. _{ } bo‘lsin. U holda

bolishi uchun, ixtiyoriy _{ } >0 uchun
P(_{ })_{ } (7)
shart bajarilishi zarur va yetarlidir. Quyidagi

hodisani kiritamiz. U holda (7) yaqinlashish
P(_{ }
munosabatga ekvivalent. Kolmogorov tengsizligiga ko'ra
P(_{ }P(_{ }
Songra

Chunki

Bundan _{ }qatoming yaqinlashishi kelib chiqadi. Demak,
P((_{ }
va bu esa (6) munosabatga ekvivalentdir. Teorema isbot boldi.
1-Iemma. M_{ } tasodifiy miqdorning matematik kutilmasi chekli bolishi uchun

bolishi zarur va yetarli.
Isboti. M_{ } matematik kutilmaning chekliligidan M_{ }
kelib chiqadi va aksincha. Quyidagi

tengsizlik o‘rinli bolgani sababli,

ammo


(8) - (10) munosabatlardan

bundan esa lemmaning isboti kelib chiqadi.
7-teorema (Kolmogorov teoremasi). N} _{ }bogliqsiz
bir xil taqsimlangan tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi bolsin. Bog‘liqsiz tasodifiy miqdorlar seriyasi uchun katta sonlar qonuni oMinli boMishi uchun, ya’ni

bolishi uchun _{ } tasodifiy miqdorlar chekli M_{ }matematik kutilmaga ega bolishi zarur va yetarli.