Chebishev tengsizligi. Katta sonlar qonuni Faraz qilaylik

Chebishev tengsizligi.Katta sonlar qonuni
Faraz qilaylik, tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi berilgan bo‘lsin.
1-ta’rif.Agar shunday sonlar ketma-ketligi mavjud bo‘lib, ixtiyoriy uchun

Munosabat o‘rinli bo‘lsa, u holda tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi kata sonlar qonuniga bo‘ysunmaydi, deyiladi.
Katta sonlar qonunini isbotlashda quyidagi Chebishev tengsizligi keng qo‘llanilishini Chebishev teoremasida keltiramiz.
1-teorema.(Chebishev tengsizligi). Chekli dispersiyaga ega bo‘lgan tasodifiy miqdor va >0 uchun quyidagi tengsizlik o‘rinli:
.
Isbot. tasodifiy miqdor absolyut uzluksiz, uning zichlik funksiyasi bo‘lsin.U holda uning dispersiyasi

bo‘ladi. Oxirdi integralni ikkiga ajraramiz:

Bu tenglikdan quyidagi

tengsizlik kelib chiqadi.Integral ostidagi ni ga almashtirib, quyidagini hosil qilamiz:

Bu yerdan esa uzluksiz tasidofiy miqdor uchun Chebishev tengsizligi kelib chiqadi. Endi tasofifiy miqdor diskiret bo‘lib, qiymatlarni mos ravishda ehtimolliklar qabul qilsin.U holda uning dispersiyasi

bo‘ladi.
Bunday tasodifiy miqdorlar uchun Chebishev tengsizligini quyidagicha isbotlaymiz. va hodisalarni kiritsak, u holda