Mavzu. Birinchi tartibli differensial tenglamalar reja

Boshqa masalalar:
. radiy massasining vaqtga nisbatan o’zgarish qonuni tenglama bilan ifodalanadi, bu yerda proporsionallik koeffitsiyenti, radiyning vaqtdagi massasi;
. jism haroratining vaqtga bog’liq o’zgarish qonuni tenglama bilan ifodalanadi, bu yerda jismning vaqtdagi harorati, havo harorati, proporsionallik koeffitsiyenti;

_______________________________________________________________________

6. W.E.Boyce, R.C.DiPrima. Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems. Copyright,2001.
. kimyoviy reaksiyaga kirishuvchi modda massasi ning vaqtga bog’liq o’zgarish qonuni ( ko’p hollarda) tenglama bilan ifodalanadi, proporsionnallik koeffitsiyenti;
. bakteriyalar ko’payishining vaqtga bog’liq o’zgarish qonuni tenglama bilan ifodalanadi, bu yerda proporsionnallik koeffitsiyenti, bakteriyalarning vaqtdagi massasi;
. havo bosimining dengiz sathidan balandlikka nisbatan o’zgarish qonuni tenglama bilan ifodalanadi, bu yerda havoning balandlikdagi atmosfera bosimi, proporsionnallik koeffitsiyenti.
1-ta’rif. Erkli o’zgaruvchi, no’malum funksiya va uning hosilalarini (differensiallarini) bog’lovchi tenglamaga differensial tenglama deyiladi.
Differensial tenglamaga kiruvchi hosilalarning (differensiallarning) eng yuqori tartibi differensial tenglamaning tartibi deyiladi.
Birinchi tartibli oddiy differensial tenglama umumiy ko’rinishda
(1.1)
kabi yoziladi, bu yerda erkli o’zgaruvchi, noma’lum funksiya,
noma’lum funksiyaning hosilasi, ikki o’lchamli sohada ikki o’zgaruvchili funksiya.
Xususan, (1.1) tenglamada va oshkor ishtirok etmasligi mumkin.
Agar (1.1) tenglamani ga nisbatan yechish mumkin bo’lsa, u
(1.2)
ko’rinishda ifodalanadi, bu erda berilgan funksiya.
Bu tenglamadan differensiallar ishtirok etuvchi simmetrik shakl deb ataluvchi



tenglamaga o’tish mumkin.
(1.1) differensial tenglamaning yechimi (integrali) deb, tenglamaga qo’yilganida uni ayniyatga aylantiradigan differensiallanuvchi funksiyaga aytiladi.
Masalan, tenglamaning yechimi (bu yerda ixtiyoriy o’zgarmas) funksiya bo’ladi. Haqiqatdan ham, ning bu qiymatini tenglamaga qo’ysak, ayniyatga ega bo’lamiz:
.
Demak, (1.1) differensial tenglamani bitta funksiya emas, balki funksiyalarning butun bir to’plami qanoatlantiradi. Bu funksiyalardan birini boshlang’ich shart deb ataluvchi ( bo’lganda bo’ladi) shart bilan ajratish mumkin.
(1.2) differensial tenglamaning umumiy yechimi deb, quyidagi shartlarni qanoatlantiruvchi ( ixtiyoriy o’zgarmas) funksiyaga aytiladi:
a) u ixtiyoriy o’zgarmasning istalgan qiymatida (2.2) differensial tenglamani qanoatlantiradi;
b) boshlang’ich shart har qanday bo’lganida ham ixtiyoriy o’zgarmasning shunday qiymati topiladiki, yechim boshlang’ich shartni qanoatlantiradi, ya’ni bo’ladi.
(1.2) differensial tenglamaning umumiy yechimidan ixtiyoriy o’zgarmasning tayin qiymatida hosil bo’ladigan har qanday yechimga xususiy yechim deyiladi.
Differensial tenglama yechimining grafigi integral egri chiziq deb ataladi.
Differensial tenglamaning yechimini topish jarayoniga differensial tenglamani integrallash deyiladi.
Umumiy yechimni oshkormas holda aniqlaydigan bog’lanishga umumiy integral deyiladi.
Umumiy integraldan ixtiyoriy o’zgarmasning biror mumkin bo’lgan qiymatida hosil bo’ladigan yechimga xususiy integral deb ataladi.
Umumiy yechim (umumiy integral) geometrik jihatdan bitta parametrga bog’liq egri chiziqlar oilasi ko’rinishida tasvirlanadi. Xususiy yechim (xususiy integral) bu oilaning integral chiziqlaridan biridan iborat bo’ladi.
(1.2) tenglamada va o’zgaruvchilarni tekislikdagi nuqtaning dekart koordinatalari sifatida qaraymiz. Bunda (1.2) tenglamaga va
larni qo’ysak, ayniyat hosil bo’ladi. funksiya grafigining, ya’ni integral egri chiziqning ixtiyoriy nuqtasiga urinma o’tkazamiz. Hosilaning geometrik ma’nosiga ko’ra bu yerda urinmaning o’qqa og’ish burchagi.
Demak, (1.2) differensial tenglama integral egri chiziqning har bir nuqtasida bu egri chiziqqa o’tkazilgan urinmaning yo’nalishini aniqlaydi.
Tekislikning har bir nuqtasiga tenglik bajariladigan qilib kesma qo’ilgan qismi (1.2) differensial tenglamaning yo’nalishlar maydoni deyiladi. Shunday qilib, differensial tenglamaga uning yo’nalishlar maydoni mos keladi. Bu jumla differensial tenglamaning geometrik ma’nosini bildiradi.
Shunindek, (1.2) differensial tenglamani yechish masalasining geometrik talqini quyidagicha ifodalanishi mumkin: integral egri chiziq shunday o’tkazilsinki, uning har bir nuqtasidagi urinmaning yo’nalishi yo’nalishlar maydonining shu nuqtadagi kesmasi yo’nalishi bilan bir xil bo’lsin. Masalan, differensial tenglamaning yo’nalishlar maydoni 3(a)-shaklda va bu maydonning nuqtadan o’tuvchi yechimi 3(b)-shaklda keltirilgan¹.
Differensial tenglamada uning umumiy yechimidan ixtiyoriy o’zgarmasning hech bir qiymatida hosil qilinishi mumkin bo’lmagan yechimga maxsus yechim deyiladi.
Maxsus yechimning grafigi umumiy yechimga kirgan integral egri chiziqlarning o’ramasi deb ataluvchi chiziqdan iborat bo’ladi va u

sistemadan ni yo’qotish orqali topiladi. Bunda hosil bo’lgan funksiya (1.1) differensial tenglamani qanoatlantirishi va oilaga kirmasligi kerak. Shundagina funksiya (2.1) tenglamaning maxsus yechimi bo’ladi.
Differensial tenglamaning berilgan (yoki ) boshlang’ich shart bo’yicha xususiy yechimini topish masalasi Koshi masalasi deyiladi.
Bunda boshlang’ich shartning berilishi izlanayotgan xususiy yechimga mos integral egri chiziq o’tadigan nuqtaning berilishini bildiradi. Shunday qilib, Koshi masalasini yechish, bu integral egri chiziqlar oilasidan berilgan nuqtadan o’tadiganini tanlab olish demakdir. Bu jumla Koshi masalasining geometrik ma’nosini ifodalaydi.
Koshi masalasi yechimining mavjudligi va yagonaligi haqidagi teoremani isbotsis keltiramiz. Teoremaning isboti odatda maxsus kurslarda keltiriladi.