Mavzu. Birinchi tartibli differensial tenglamalar reja

To’liq differensialli tenglama.Integrallovchi ko’paytuvchi.

Agar
(1.25)

tenglamaning chap tomoni biror funksiyaning to’liq differensiali, ya’ni
(1.26)
bo’lsa, (1.25) tenglamaga to’liq differensialli tenglama deyiladi.
Ma’lumki, funksiyaning to’liq differensiali
(1.27)
kabi ifodalanadi.
(1.25) va (1.26) tengliklarni solishtirib, topamiz:
(1.28)
Birinchi tenglikdan bo’yicha va ikkinchi tenglikdan bo’yicha xususiy hosilalar olamiz:
.
Bundan
. (1.29)
Shunday qilib, agar (1.29) shart bajarilsa (1.25) to’liq differensialli tenglama bo’ladi.
To’liq diffrensialli tenglama ta’rifidan yoki ixtiyoriy o’zgarmas ) kelib chiqadi.
ni topish uchun ni o’zgarmas deymiz. U holda va (1.26) tenglikdan kelib chiqadi. Bu tenglikni bo’yicha integrallaymiz:
(1.30)
bu yerda - ning no’malum funksiyasi.
funksiyani tenglik bajariladigan qilib tanlaymiz. Buning uchun (1.30) tenglikning o’ng tomonini bo’yicha differensiallaymiz va natijani ga tenglashtiramiz:

Bundan

Bu tenglikni bo’yicha integrallaymiz:
.
Shunday qilib,

Bu ifodani ixtiyoriy o’zgarmasga tenglab, (1.25) tenglamaning umumiy yechimini topamiz:
(1.31)
8-misol. tenglamaning umumiy yechimini toping.
Yechish. Tenglamada
Bundan yani
Demak, tenglama to’liq differensialli.
bo’lgani uchun Bu tenglikni bo’yicha
integrallaymiz :
.
Bundan
,
Bunda ekani inobatga olinsa bo’ladi.
U holda
.
Demak,
, .
Agar (1.29) shart bajarilmasa (1.25) tenglama to’liq differensialli bo’lmaydi. Bunday tenglamani ba’zan integrallovchi ko’paytuvchi deb ataluvchi funksiyaga ko’paytirish orqali to’liq differensialli tenglamaga keltirsa bo’ladi.
tenglama to’liq differensialli bo’lishi uchun

shart bajarilishi kerak.
Oxirgi tenglikdan topamiz:

yoki
(1.32)
integrallovchi ko’paytuvchini topish uchun (1.32) xususiy hosilali differensial tenglamani yechish kerak. Biz (1.32) tenglamani yechishning, ya’ni integrallovchi ko’paytuvchini topishning ikkita xususiy holi bilan tanishamiz.


1. bo’lsin. Bunda (1.32) tenglama
yoki
ko’rinishga keladi. Integrallovchi ko’paytuvchininng mavjud bo’lishi alomati
oxirgi ifodada o’zgaruvchining qatnashmasligi hisoblanadi.
Demak, oxirgi tenglikning o’ng tomoni faqat ning funksiyasi bo’ladi, ya’ni
.
Bundan
(1.33)
kelib chiqadi.


2. bo’lsin. Bunda yuqoridagi kabi topamiz:
, (1.34)
bu yerda
9-misol. tenglamaning umumiy yechimini toping.
Yechish. Tenglamada
Bundan ya’ni Demak, tenglama to’liq differensialli emas.
Berilgan tenglama uchun integrallovchi ko’paytuvchini topamiz:


Berilgan tenglamani ga ko’paytiramiz:
.
Bu tenglamada
Tenglamaning yechimini (1.31) formula bilan topamiz:

Demak,