Mavzu. Birinchi tartibli differensial tenglamalar reja

Bir jinsli bo’lmagan (1.10) tenglamani ixtiyoriy o’zgarmasni variatsiyalash usuli deb ataluvchi usul bilan ham yechish mumkin (bu usul Lagranj tomonidan kiritilgan).
(1.10) tenglamani ixtiyoriy o’zgarmasni variatsiyalash usuli bilan yechish ikki bosqichda amalga oshiriladi.
Birinchi bosqichda (1.10) tenglamaga mos bir jinsli (1.11) tenglama yechiladi:
yoki
Bundan
. (1.19)
(1.11) tenglik ga hadma-had bo’linganda yechim tushib qoldi, ammo u (1.19) yechimlar oilasiga deb kiritilishi mumkin.
Ikkinchi bosqichda (1.10) tenglamaning umumiy yechimi (1.19) ko’rinishda izlanadi. Bunda o’zgarmas biror differensiallanuvchi funksiyaga tenglashtiriladi, ya’ni o’zgarmas variatsiyalanadi (ingliz tilida variation-uzluksiz, tekis o’zgarish). Usulning nomlanishi shu jumlaga asoslangan.
Demak, (1.10) tenlamaning yechimini
(1.20)
ko’rinishda izlaymiz. Bundan
(1.21)
va ning qiymatlarini (1.20) va (1.21) tenglamalardan (1.10) tenglamaga qo’yamiz:

yoki
.
Bu tenglikni integrallaymiz:

ning bu qiymatini (1.20) tenglamaga qo’yib, (1.10) tenglamaning umumiy yechimini topamiz:
.
Izoh. Chiziqli differensial tenglamalarni yechishning ixtiyoriy o’zgarmasni
variatsiyalash usulida yechimning ko’rinishini yodda saqlash shart emas, balki bu yechimni topish algoritmini bilish muhim: birinchi bosqichda berilgan tenglamaga mos bir jinsli tenglama yechiladi va ikkinchi bosqichda bir jinsli bo’lmagan tenglamaning yechimi topilgan bir jinsli tenglamaning yechimi ko’rinishida
izlanadi, buhda ixtiyoriy o’zgarmas o’zgaruvchi miqdor deb hisoblanadi.
6-misol. tenglamani ixtiyoriy o’zgarmasni variatsiyalash usuli bilan yeching.
Yechish. Berilgan tenglamaga mos bir jinsli tenglamani yechamiz:

Berilgan tenglamaning yechimini ko’rinishda izlaymiz.
Bundan
va ni berilgan tenglamaga qo’yamiz:
.
U holda

Demak, berilgan tenglamaning umumiy yechimi:

Ushbu
(1.22)
ko’rinishdagi tenglamaga Bernulli tenglamasi deyiladi.
Bu tenglama
, (1.23)
o’rniga qo’yishlar orqali chiziqli tenglamaga keltiriladi.
Buning uchun (1.22) tenglamani ga bo’lamiz:

Bu tenglamaning har ikkala tomonini ga ko’paytiramiz va (1.23) o’rniga qo’yish bajaramiz:
(1.24)
Natijada chiziqli tenglama kelib chiqadi.
(1.24) tenglamani integrallaymiz va ning o’rniga ifodani qo’yamiz va
Bernulli tenglamasining umumiy yechimini topamiz.
7-misol. tenglamaning umumiy yechimini toping.
Yechish. Bernulli tenglamasi berilgan: .
belgilash kiritamiz va berilgan tenglamani

ko’rinishga keltiramiz.
o’rniga qo’yish bajaramiz:

_{Bu tenglamadan}

sistema kelib chiqadi.
Birinchi tenglamani integrallab xususiy yechimga ega bo’lamiz va uni
ikkinchi tenglamaga qo’yamiz:
, .
Bundan

U holda
, .
Demak, berilgan Bernulli tenglamasining umumiy yechimi:
,
Izohlar. 1. Bernulli tenglamasidan bo’lganda chiziqli tenglama, bo’lganda o’zgaruvchilari ajraladigan tenglama kelib chiqadi.
2. Bernulli tenglamasini bevosita o’rniga qo’yish orqali yoki
ixtiyoriy o’zgarmasni variatsiyalash usuli bilan yechish mumkin.