Mavzu. Birinchi tartibli differensial tenglamalar reja

mavzu. BIRINCHI TARTIBLI DIFFERENSIAL TENGLAMALAR
Reja
1. Differensial tenglamalarga olib keluvchi masalalar
2. Birinchi tartibli differensial tenglamalar
3. O’zgaruvchilari ajralgan va ajraladigan differensial tenglamalar.

Differensial tenglama − bu noma’lum funksiyaning hosilasini o’z ichiga olgan tenglamalardir. Defferensial tenglamalar nazariyasining asosiy masalasi − bunday tenglamalarni yechimlari bo’lgan funksiyalarni o’rganishdir.

Differensial tenglamalarni oddiy va xususiy hosilali differensial tenglamalarga bo’linadi: no’malum funksiyasi bitta o’zgaruvchiga bog’liq bo’lgan differensial tenglamaga oddiy differensial tenglama deyiladi; no’malum funksiyasi ikkita va undan ortiq o’zgaruvchilarga bog’liq bo’lgan differensial tenglama xususiy hosilali differensial tenglama deb ataladi.
Xususiy hosilali differensial tenglamalar nazariyasi matematikaning maxsus kurslarida o’rganiladi. Ushbu bobda oddiy differensial tenglamalar nazariyasining elementlari bayon qilinadi. Bunda differensial tenglamalar deyilganida faqat oddiy differensial tenglamalar nazarda tutiladi.
Differensial tenglamalarga olib keluvchi masalalardan ayrimlarini qarab chiqamiz.
1-masala. Massasi ga teng moddiy nuqta tezlikning kvadratiga proporsional bo’lgan muhit qarshilik kuchi ta’sirida harakatini sekinlatmoqda. Moddiy nuqta harakat qonunining tenglamasini tuzing.
Yechish. Erkli o’zgaruvchi sifatida moddiy nuqtaning sekinlashish boshlanishidan hisoblanuvchi vaqtni olamiz. U holda nuqtaning tezligi vaqtning funksiyasi bo’ladi: .
Moddiy nuqtaning harakat qonunini topish uchun Nuytonning ikkinchi qonunidan foydalanamiz: bu yerda harakatlanuvchi jism tezlanishi, jismga harakat jarayonida ta’sir qiluvchi kuchlar yig’indisi.
Bu masalada bu yerda proporsionallik koeffitsiyenti (minus ishora harakatning sikinlashishini bildiradi).
Shunday qilib, moddiy nuqtaning harakat qonuni

tenglama bilan aniqlanadi.
____________________________________________________________
5. Claudio Canuto, Anita Tabacco. Mathematical Analysis II. Sprinder-Verlag Italia, Milan 2010.


2-masala. Boshlang’ich vaqtda tuz bilan to’yintirilgan litr suv solingan bakka bir litri . tuz bilan to’yintirilgan suv tezlik bilan haydalmoqda va yaxshi aralashtirilgan eritma shu tezlik bilan bakdan so’rilmoqda⁶ (1-shakl). Bakdagi tuz miqdori o’zgarish qonunining tenglamasini tuzing.
Yechish. Tuzning bakdagi boshlang’ich miqdori ga teng.
Tuz bakka yopishmasin va bakda yemirilmasin. U holda tuz miqdorining bakdagi o’zgarish tezligi uning kirish (haydalgan) va chiqish (so’rilgan) tezliklari ayirmasiga teng bo’ladi:

bu yerda tuzning kirish va chiqish tezliklari.
Tuzning bakka kirish tezligi To’yintirilgan suvning bakka kirish tezligi aralashtirilgan eritmaning bakdan chiqish tezlgiga teng bo’lgani sababli bakdagi suv miqdori o’zgarmaydi. Tuz bakda yaxshi aralashtirilganligi uchun erinmaning miqdori butun bakda bir xil. U holda tuzning bakdan chiqish tezligi bo’ladi.
Demak, bakdagi tuz miqdorining o’zgarish qonuni
,
differensial tenglama bilan ifodalanadi.