Mavzu. Birinchi tartibli differensial tenglamalar reja

No’malum funksiya va uning hosilasiga nisbatan chiziqli bo’lgan
(1.10)
tenglamaga chiziqli differensial tenglama deyiladi, bu yerda ning
ma’lum uzluksiz funksiyalari (yoki o’zgarmaslar).
da (1.10) tenglama
(1.11)
ko’rinishga keladi. Bu tenglamaga chiziqli bir jinsli tenglama deyiladi. Chiziqli bir jinsli tenglama o’zgaruvchilari ajraladigan tenglama bo’ladi.
Agar bo’lsa, (1.10) tenglama chiziqli bir jinsli bo’lmagan tenglama deb ataladi.
Chiziqli bir jinsli bo’lmagan tenglamani qaraymiz. Uning yechimini ning ikkita funksiyasi ko’paytmasi ko’rinishida izlaymiz (bu usul Iogann Bernulli tomonidan kiritilgan):
. (1.12)
Bu funksiyalardan bittasini ixtiyoriy tanlash mumkin, ikkinchisi esa (1.10) tenglamadan topiladi.
(1.12) ning har ikkala tomonini differensiallaymiz:

va ni (1.10) tenglamaga qo’yamiz:
. (1.13)
funksyani
(1.14)
shartni qanoatlantiradigan qilib tanlaymiz.
U holda (1.13) tenglikdan
(1.15)
tenglama kelib chiqadi.
(1.14) tenglamadan ni topamiz:
,
Bundan
, .
(1.14) tenglamaning noldan farqli biror yechimini topish yetarli bo’lgani uchun , ya’ni
(1.16)
deb olamiz.
ning topilgan bu qiymatini (1.15) tenglamaga qo’yamiz va hosil bo’lgan tenglamani yechamiz:
yoki
Bundan
(1.17)
(1.16) va (1.17) formulalar va ko’paytuvchilarning orqali ifodalarini beradi. Bu ifodalarni (1.12) tenglikka qo’yib, (1.10) tenglamaning umumiy yechimini topamiz:
. (1.18)
5-misol. tenglamaning umumiy yechimini toping.
Yechish. Berilgan tenglama chiziqli:
o’rniga qo’yish bajaramiz:

Bu tenglamadan

sistema kelib chiqadi.
Sistemaning birinchi tenglamasini integrallaymiz:
, , da
ni sistemaning ikkinchi tenglamasiga qo’yamiz:

Bundan

Demak, tenglamaning umumiy yechimi

Ba’zan differensial tenglama va uning hosilasiga nisbatan chiziqli bo’lgan

ko’rinishga berilishi mumkin. Bu tenglama o’rniga qo’yish orqali yuqoridagi kabi yechiladi.