Mavzu: Bir o`zgaruvchili uzluksiz funksiya

funksiya deyiladi.
^{Xususan, agar} lim (x)  0
xx ₀
da cheksiz kichik deb ataladi.


^{bo`lsa, bir o`zgaruvchili α(x) funksiya x → x}0

Masalan, funksiyadir.
(x)  ^{x  1}
_x 2

funksiya x → -1 va x → ∞ larda cheksiz kichik

Cheksiz kichik funksiya o`zining quyidagi xossalariga ega:

1. 
   ^{M → M}0 ^{da α(M) cheksiz kichik funksiya bo`lib, f (M) = b + α(M)}
   

bo`lganda, lim f (M)
MM ₀
mavjud va aynan b ga tengdir;

2. 
   ^{chekli sondagi va har biri M → M}0 ^{da cheksiz kichik funksiyalarning} yig`indisi yoki ko`paytmasi cheksiz kichik funksiyalardir.
   
3. 
   ^{M → M}0 ^{da cheksiz kichik funksiyaning, M}0 ^{nuqtaning biror atrofida} chegaralangan funksiyaga ko`paytmasi, cheksiz kichik funksiyadir.
   

Agar lim (M)  
MM ₀
^{(yoki - ∞) bo`lsa, γ(M) funksiya M → M}0 ^da

cheksiz katta funksiya deyiladi.
Xususan, agar lim (x)  
x x ₀
^{(yoki - ∞) bo`lsa, γ(x) funksiya x → x}0 ^da

cheksiz katta bir o`zgaruvchili funksiya deb ataladi.

Masalan, ^{(x)  x  1}
_x2

funksiya x → 0 da cheksiz kattadir.

Ekvivalent cheksiz kichik funksiyalar. Funksiyalarni taqqos-lash.

^{Bir o`zgaruvchili f (x) va g(x) funksiyalar berilgan bo`lib, x ≠ x}0 ^{da f (x) ≠ 0,} _{g(x) ≠ 0 va} ^{lim f (x)  l} mavjud bo`lsin. U holda, quyidagi h
^xx 0 ^g(x)

hollarning biri o`rinli bo`ladi:

1. 
   <sup>Agar l ≠ 0 va l ≠ ∞ bo`lsa, f (x) va g(x) funksiyalar x → x</sup>0 <sup>da teng</sup> tartibli funksiyalar deyilib, f (x) = 0<sup>*</sup>(g(x)) ko`rinishda yoziladi;
   
2. 
   ^{Agar l = 1 bo`lsa, f (x) va g(x) funksiyalar x → x}0 ^{da ekvivalent yoki}
   
3. 
   
   dal
   
   S
   teng kuchli deyilib, f (x) g(x) yozuvda ifo anadi;
   

4. 
   ^{Agar l = 0 bo`lsa, f (x) funksiya x → x}0 ^{da g(x) funksiyaga nisbatan yuqori} tartibli kichik deyiladi va f (x) = o(g(x)) yozuvda yoziladi;
   
5. 
   Agarda l = ∞ bo`lsa, unda g(x) = o(f (x)).
   

Masalan: 1. x → 0 da tg(2x) = 0*(5x), chunki _lim ^tg2x _ ² _.
^x0 5x 5

2. 
   x → 0 da x³ = o(x²), chunki
   

lim ^x3
2

 0.

x0 _x
2

2. 
   x → ∞ da x² = o(x³), chunki ^{lim x}  0 .
   

x _x ³

2. 
   
   S
   x → 0 da tg 2x sin 2x, chunki lim ^tg2x 1^.
   

^x0 sin2x
^{Agar x → x}0 <sup>da α(x) funksiya cheksiz kichik bo`lsa, quyidagi teng</sup> kuchliliklar (ekvivalentliklar) o`rinli:

α

S

S

S
1. sin α(x) α(x); 2. tg α(x) α(x); 3. arcsin α(x) (x).

S

S
^{4. arctg α(x) α(x); 5. log}a ^{[1 + α(x)] α(x) log}a^e.

)

S

S
6. ln[1 + α(x)] α(x); 7. 1 – cos α(x

1

S

S
8. a^α(x) - 1 α(x) lna; 9. e^α(x) - α(x).

S
10. [1 + α(x)]ⁿ - 1 n α(x); 11.
² (x) _.
2



S
_{ 1} (x) _. n

Yuqorida keltirilgan ekvivalentliklardan funksiyalar limitini hisob-lashda foydalanish maqsadga muvofiq.

Masalan,
ln(1  x³ )
lim
x0 ^{(1  cosx)arctgx}
_ lim ^x3
x0 ^{x 2}
x
2

 2 .

Bir va ko`p o`zgaruvchili funksiya uzluksizligi

Bir va ko`p o`zgaruvchili funksiyaning nuqtadagi uzluksizligi
^{y = f (M) = f (x}1^{; x}2^{; …; x}n^{) funksiya V  R}n ^{to`plamda aniqlangan bo`lib,}

1 ^{2 n
M0 (x0; x0; ...; x0 ) nuqta V to`plamning quyuqlanish nuqtasi va M</sup>0 <sup>є V bo`lsin.}
Funksiyaning nuqtada uzluksizligini, funksiya limitini ta`riflagan kabi, ikki teng kuchli ta`riflardan biri orqali aniqlash mumkin.
^{Har bir hadi V to`plamga tegishli va uning M}0 ^{quyuqlanish nuqtasiga}

^{yaqinlashuvchi har qanday M}1^{, M}2^{, …, M}k^{, … nuqtalar ketma-ketligi uchun, mos funksiya qiymatlari f (M}1^{), f (M}2^{), …, f (M}k^{), … sonli ketma-ketligi f (M}0^{) songa intilsa, u holda f (M) funksiya M}0 ^{nuqtada uzluksiz deyiladi.
Har qanday oldindan tayinlanadigan ε > 0 son uchun M}0 ^{nuqtaning shunday bir δ atrofi S}δ^(M0^{) ni ko`rsatish mumkin bo`lsaki, barcha M є S}δ^(M0^{) ∩ V nuqtalar uchun |f (M) - f (M}0^{) | < ε tengsizlik bajarilsa, f (M) funksiya M}0 nuqtada uzluksiz deyiladi.

^{y = f (M) funksiyaning M}0 ^{nuqtada uzluksizligi lim f (M)}
MM ₀
ning mavjudligini

^{va uning funksiyaning M}0 ^{nuqtada erishadigan qiymati f (M}0^{) ga tengligini} anglatadi, ya`ni ^{lim f (M) f (M}0 ⁾ .
MM ₀

limf (M) f (M₀ )
MM₀
^{shart limf (M)  f (M}0 ^{) 0}
MM₀
shartga teng kuchli

1
ekanligini e`tiborga olsak, argumentlar orttirmalari deb ataladigan x₁  x⁰  x₁

2 ⁿ
, x₂  x⁰  x₂ , …, x_n  x⁰  x_n almashtirishlar va ularga mos funksiyaning ^M0 ^{nuqtadagi orttirmasi deyiladigan f (M) - f (M}0^{) = Δf (M}0^{) almashtirish} kiritsak, shartlar

^{limf (M}0^{)  0}

x₁0
x ₂ 0
............
x_n 0
ko`rinishda yoziladi. Bu esa, funksiyaning nuqtada uzluksizligi, shu nuqtada barcha argumentlarning cheksiz kichik orttirmalariga funksiya-ning ham cheksiz kichik orttirmasi mos kelishini anglatadi.
Xususiy holda, yuqorida keltirilgan ta`riflarni bir o`zgaruvchili funksiya uchun bayon qilishda M ni x bilan almashtirish kifoya qiladi.

Masalan:

1. 
   ^{y = cos x funksiya har bir x}0 ^{є R}1 ^{nuqtada uzluksiz, chunki}
   

limf (x₀ ) lim(cos(x₀  x)  cosx₀ ) 

x0 x0

 2 lim(sin ^x sin(x
₂ 0
 ^x))  0 2

x0

2. 
   ^{y = a}1^x1 ^{+ a}2^x2 ^{+ … +a}n ^xn ^{chiziqli funksiya har bir M(x}1^{; x}2^{; …; x}n^{) є R}n nuqtada uzluksiz va hokazo.
   

Uzluksiz funksiyalar xossalari. To`plamda uzluksizlik

Nuqtada uzluksiz funksiyalar quyidagi xossalar bilanxarakterlаnadi:

1. 
   ^{f (M) va g(M) funksiyalar M}0 <sup>nuqtada uzluksiz bo`lsa, u holda M</sup>0 nuqtada quyidagi funksiyalar ham uzluksiz bo`ladi:
   
   1. 
      f (M) + g(M); b) k f (M) (k – o`zgarmas); c) f (M) · g(M);
      

_d) f (M)
g(M)
^(g(M0^{) ≠ 0).}

2. 
   ^{Agar f (M) funksiya V to`plamda aniqlangan bo`lib, M}0 ^{є V nuqtada uzluksiz va f (M}0^{) > 0 (f (M}0<sup>) < 0) bo`lsa, u holda M</sup>0 <sup>nuqtaning shunday bir δ atrofi S</sup>δ<sup>(M</sup>0<sup>) mavjudki, barcha M є S</sup>δ<sup>(M</sup>0<sup>) ∩ V nuqtalar uchun f (M) > 0</sup> (f (M) < 0) tengsizlik o`rinli bo`ladi.
   

To`plamning har bir nuqtasida uzluksiz funksiyaga to`plamda uzluksiz funksiya deyiladi.

To`plamda uzluksiz funksiyalar esa quyidagi xossalarga ega:

1. 
   Agar f (M) funksiya ixcham (chegaralangan va yopiq) V to`plamda uzluksiz bo`lsa, u holda f (M) funksiya V to`plamda chegaralangandir.
   
2. 
   Agar f (M) funksiya ixcham V to`plamda uzluksiz bo`lsa, u holda f (M) funksiya V to`plamda o`zining eng katta va eng kichik qiymatlariga erishadi. Bir o`zgaruvchili funksiya uchun yuqorida qayd qilingan xossalardan tashqari, qo`shimcha quyidagi xossa o`rinli:
   
3. 
   Agar f (x) funksiya [a; b] kesmada uzluksiz va kesmaning chetki nuqtalarida turli ishorali qiymatlarga erishsa (f (a) · f (b) < 0), u holda (a; b) intervalga tegishli kamida bitta c nuqta topiladiki, f (c) = 0 tenglik bajariladi (1- rasm).