Mavzu: Bir o`zgaruvchili uzluksiz funksiya

Bir va ko`p o`zgaruvchili funksiya limiti

Bir va ko`p o`zgaruvchili funksiya limiti haqida tushuncha. Ajoyib limitlar. Yaqinlashuvchi funksiya xossalari

1 2 n
^{y = f (M) = f (x}1^{; x}2^{; …; x}n^{) funksiya V  R}n ^{to`plamda aniqlangan bo`lib,} M₀ (x⁰; x⁰; ...; x⁰ ) ^{nuqta V to`plamning quyuqlanish nuqtasi bo`l-sin. Funksiya} limitining bir-biriga o`zaro teng kuchli Geyne va Koshi tillaridagi ta`riflari mavjud.
Ko`p o`zgaruvchili funksiya limiti Geyne yoki nuqtalar ketma-ketligi tilida ^{quyidagicha ta`riflanadi: Har bir hadi V to`plamga tegishli va M}0 ^{quyuqlanish nuqtasidan farqli har qanday M}1^{, M}2^{, …, M}k^{, … nuqtalar ketma-ketligi M}0 ^{nuqtaga intilganda, mos funksiya qiymatlari f (M}1^{), f (M}2^{), …, f (M}k^{), … sonli ketma-ketligi b songa intilsa, u holda b soni f (M) funksiyaning M → M}0 ^dagi limiti deyiladi va

b  lim
MM ₀

ko`rinishda yoziladi.

^{f (M)} yoki b  lim

1
x₁ x ⁰

2
x ₂ x ⁰
.......... ..

n
x_n x ⁰

f (M)

^{Xususan, bir o`zgaruvchili y = f (x) funksiya uchun: har qanday x}0 ^{songa intiluvchi argument qiymatlari x}1^{, x}2^{, …, x}k^{, … sonli ketma – ketligi uchun, bu yerda x}k ^{є V, x}k ^{≠ x}0 ^{(k = 1, 2, 3, …), funksiya qiymatlari f (x}1^{), f (x}2^{), …, f (x}k^{), … sonli ketma – ketligi b songa intilsa, b soni f (x)}

^{funksiyaning x → x}0 ^{dagi limiti deyiladi va b  lim}
xx ₀
^{f (M)} ko`rinishda yoziladi.

Funksiya limiti Koshi yoki ε – δ tilida quyidagicha ta`riflanadi:

^{Har qanday oldindan tayinlanadigan ε > 0 son uchun M}0 ^{nuqtaning δ atrofi S}δ^(M0^{) ni ko`rsatish mumkin bo`lsaki, barcha M є S}δ^(M0^{) ∩ V, M ≠ M}0 ^nuqtalar uchun |f (M) - b| < ε tengsizlik o`rinli bo`lsa, u holda b soni f (M) funksiyaning

^{M → M}0 ^{dagi limiti deyiladi.}
Xususiy holda, bir o`zgaruvchili y = f (x) funksiya uchun: Har qanday ε > 0 son uchun shunday bir δ > 0 son tanlash mumkin bo`lsaki, V to`plamga tegishli <sup>va 0 < |x - x</sup>0<sup>| < δ munosabatlarni qanoatlantiruvchi har</sup>
bir x uchun |f (x) – b| < ε tengsizlik bajarilsa, b soni f (x) funksiyaning <sup>x → x</sup>0 <sup>dagi limiti deyiladi (1-rasm).</sup>
Yuqorida keltirilgan ta`riflardan birini qo`llab, masalan,

1. 
   ^{lim sinx  1, 2)} lim ^{1  0,2 yoki 3) lim cos 1}
   

x ^ x ²  x ^{2 x0} x
₂ x₁ 1 ^{1 2}
x ₂ 2
mavjud emasligini isbotlash mumkin.
^=min(δ1^{, δ}2⁾⁾
x

1-rasm.

Quyida sanab o`tiladigan va ajoyib limitlar nomini olgan limitlar ham ta`riflar asosida isbotlanadi.

1. 
   ^{lim sinx  1} (1-ajoyib limit asosiy shakli).
   

^x0 x

2. 
   ^{lim tgx} _{ 1. 3.} ^{lim arcsinx  1}. 4. _lim ^arctgx _{ 1.}
   

^x0 x ^x0 x ^x0 x

1

5. 
   ^{lim(1  x) x}
   

^{ e} . (2-ajoyib limit asosiy shakli).

x0

5. 
   limlog
   

1 x
 log ^e _{. 7. lim} ^{lnx  1} _{ 1 .}

^{x0 a} _x ^a x0 _x

^{8. lim a}x ^{ 1}  lna . 9. ^{lim e}x ^{ 1}  1.
x0 x x0 x


Limitga ega funksiyalar o`zlarining quyidagi xossalari bilan xarakterlanadi:

1. 
   ^{y = f (M) funksiya M → M}0 ^{da limitga ega bo`lsa, ushbu limit yagonadir;}
   
2. 
   ^{y = f (M) funksiya M → M}0 ^{da chekli limitga ega bo`lsa, M</sup> 0 <sup>nuqtaning δ atrofi S</sup>δ<sup>(M</sup>0<sup>) mavjudki, S</sup>δ<sup>(M</sup>0<sup>) ∩ V to`plamda f (M) funksiya chegaralangan} bo`ladi.
   

2. Bir o`zgaruvchili funksiya uchun bir tomonlama va x → ∞ dagi limitlar.

Bir o`zgaruvchili y = f (x) funksiya biror V = (a; ∞) nurda aniqlangan bo`lsin (2-rasm). Har qanday ε > 0 son uchun shunday K > 0 sonni ko`rsatish mumki n bo`lsaki, barcha | x | > K munosabatni qanoatlanti-ruvchi x lar uchun
|f (x) – b | < ε tengsizlik o`rinli bo`lsa, b soni f (x) funksiyaning x → ∞ dagi limiti deyiladi.


y


b _

x
a 0 К

2 – rasm.

y = f (x) funksiyaning x → - ∞ dagi limiti ham yuqoridagidek ta`riflanadi.
³  ¹ ^{x
Masalan, 1) lim} _x ^{ 3, chunki x → + ∞ da}   ^{→ 0;}
x _{1  1 }  ⁵ 
 ⁵ 


³  ¹ ^{x
2) lim} _x ^{ 0 , chunki x → - ∞ da}   ^{→ + ∞ ;}

_1  
x _{ 1 }  ⁵ 
 ⁵ 

3) 

lim _1
x_
x

¹ _
 e .
x _

^{Bir o`zgaruvchili y = f (x) funksiya x < x</sup>0 <sup>da aniqlangan bo`lib, x}0 ^nuqta aniqlanish sohasining quyuqlanish nuqtasi bo`lsin (3–rasm).
<sup>Har qanday ε > 0 son uchun δ</sup>1 <sup>> 0 sonni ko`rsatish mumkin bo`l-saki, x</sup>0^{– δ}1^{< x < x}0 ^{shartni qanoatlantiruvchi barcha x lar uchun |f (x) –b}1^{| < ε tengsizlik bajarilsa, b}1 ^{= f (x}0^{–0) son f (x) funksiyaning x→x}0 ^{da chapdan limiti deyiladi}

^{va f (x}0 ^{ 0)  lim f (x)}
xx ₀ 0
ko`rinishda yoziladi.

^{y = f (x) funksiyaning x → x}0 ^{da o`ngdan limiti ham shunga o`xshash}

^{aniqlanadi va f (x}0 ^{ 0)  lim f (x)}
xx ₀  0
ko`rinishda yoziladi (3 – rasm ).

Masalan, 1) ^lim

1
x0


¹  1; 2)

3. 
   rasm.
   

lim ¹
x0 ¹
x
 0 .

1  5^x 1  5 ^x

^{y = f (x) funksiyaning x}0 ^{nuqtada limiti, funksiya shu nuqtada chapdan va o`ngdan limitlarga ega bo`lib, f (x}0^{–0) = f (x}0^{+0) tenglik bajarilganda, mavjud} bo`ladi.
Limitlar haqida asosiy teoremalar. Cheksiz kichik va cheksiz katta funksiyalar.
Limitlar haqidagi asosiy teoremalar quyidagilardan iborat:

1. 
   Agar y = f (M) = C (C – o`zgarmas) bo`lsa, u holda lim f (M)  C .
   

MM ₀

2. 
   lim f (M)
   

MM ₀
mavjud bo`lsa, u holda ixtiyoriy k son uchun

lim
MM ₀
[kf (M)]  k lim f (M)
MM ₀

3. 
   Agar lim f (M) va
   

MM ₀
lim g(M)
MM ₀
mavjud bo`lsa,

1. 
   lim[f (M)  g(M)] ^{ham mavjud bo`ladi va}
   

MM₀

lim[f (M)  g(M)] 
MM₀
limf (M)
MM₀
limg(M).
MM₀

2. 
   lim[ f (M)  g(M)] ^{mavjud bo`ladi va}
   

MM ₀

lim[ f (M)  g(M)] 
MM ₀
lim f (M)
MM ₀
 lim g(M)
MM ₀

3. 
   lim g(M)  0 o`rinli bo`lganda, lim ^f(M) ham mavjud bo`ladi
   

va lim
MM ₀
lim f(M) ^f(M) _ MM _{0 .}
^MM 0 ^g(M)

^MM ₀ g(M) lim g(M)
MM ₀

4. 
   ^M0 ^{nuqtaning biror atrofida f (M) ≤ g(M) munosabat bajarilsa, u holda}
   

lim f (M) 
MM ₀
lim g(M)
MM ₀
tengsizlik ham o`rinli bo`ladi.

Limitlar haqidagi teoremalar bir va ko`p o`zgaruvchili funksiya li-mitlarini hisoblashda qo`llaniladi.

Masalan, ^lim
_x2 _x2 ^

1
_x2 _x2

^ ( ¹
2 ^{ 0,2}

1
x₁ 1 ^
x ₂ 2 ¹
.
lim
² x₁ 1 ¹
x ₂ 2

• 
  lim
  

x₁ 1 ²
x ₂ 2
1)²  2

Agar lim (M)
MM₀
^{ 0 bo`lsa, α(M) funksiya M → M}0 ^{da cheksiz kichik}