Mavzu: Bir o`zgaruvchili uzluksiz funksiya

Misollar: Quyida berilgan funksiyalarning aniqlanish sohalarini toping va

tegishli fazoda tasvirlang. Funksiyalarning qiymatlar to`plamini aniqlang:
^{1) y = log}2^{(3–x), 2) y  ,
3) y = arccos x}1 ^{+ arccos x}2 ^{+ arccos x}3 ^.

1. 
   ^{bir o`zgaruvchili y = log}2^{(3-x) funksiya aniqlanish sohasi D(y): 3–x > 0 tengsizlik yechimidan iborat. Shunday qilib, D(y) = (- ∞; 3) є R}1^.
   
2. 
   Funksiya aniqlanish sohasi sonlar o`qida (- ∞; 3) ochiq nur ko`rinishida tasvirlanadi:
   

^{0 3 R}1


^{Funksiya qiymatlari to`plami esa sonlar o`qidan iborat, ya`ni E(y) = R}1^.

2. 
   ^{funksiya ikki o`zgaruvchili bo`lib, uning aniqlanish sohasi D(y) = {M(x}1^;
   

x
2
_{x2) є R2 | x1 ≥ 2} ^{}. Funksiya aniqlanish sohasi haqiqiy koordinatalar tekisligi R}2
4
da quyidagicha tasvirlanadi:


^х1
Funksiya qiymatlari to`plami E(y) = [0; ∞).

2. 
   berilgan uch o`zgaruvchili funksiya aniqlanish sohasi
   

^{D(y) = {M(x}1^{; x}2^{; x}3^{) є R}3 ^{| -1≤ x}1^{≤ 1, -1≤ x}2 ^{≤ 1, -1 ≤ x}3 ^{≤ 1}.
Funksiya aniqlanish sohasi R}3 ^{fazoda qirrasi 2 ga teng, simmetriya markazi} koordinatalar boshida, yoqlari esa koordinatalar tekisliklariga parallel bo`lgan kubdan iborat:
<sup>х</sup>1
Funksiya qiymatlari to`plami E(y) = [0; 3π].

Bir o`zgaruvchili funksiya umumiy xossalari va grafigi. Tes-kari funksiya.

^{V  R}1 ^{nuqtalar to`plamida aniqlangan bir o`zgaruvchili y = f (x)} funksiyaning grafigi deb, mumkin bo`lgan barcha (x; f (x)), x є V juf- tliklarning x0y to`g`ri burchakli koordinatalar tekisligidagi aksiga aytiladi.
<sup>R</sup>1 <sup>fazoda, x = 0 nuqtaga nisbatan simmetrik, nuqtalarning V qism to`plami</sup> va unda aniqlangan y = f (x) funksiya berilgan bo`lsin.
Agar har qanday ± x є V lar uchun f (-x) = f (x) tenglik o`rinli bo`lsa, bir o`zgaruvchili y = f (x) funksiya V to`plamda juft funksiya deyiladi. Juft funksiya grafigi 0u ordinata o`qiga nisbatan simmetrikdir.
Agar har qanday ± x є V lar uchun f (-x) = -f (x) munosabat o`rinli bo`lsa, y = f (x) V to`plamda toq funksiya deyiladi. Toq funksiya gra-figi esa koordinatalar boshiga nisbatan simmetrikdir.
Masalan, juft natural darajali y = x<sup>2n</sup> (n є N) funksiya juft funksiyaga misol bo`lsa, toq natural darajali y = x^2n–1 (n є N) toq funksiyaga misoldir.
y = f (x) funksiya uchun shunday bir musbat t son mavjud bo`lsaki, funksiyaning aniqlanish sohasiga tegishli har qanday x va x + t nuqtalari uchun f (x+t) = f (x) tenglik bajarilsa, y = f (x) funksiya davriy funksiya deyiladi. t soni esa funksiya davri deb yuritiladi. Amalda funksiya davrlari ichidan eng kichigi T ni topish masalasi qo`yiladi, qolgan barcha davrlar uning butun karralisidan iborat bo`ladi.
Masalan, y = 5sin(0,25πx) funksiyaning eng kichik musbat davri

_{T } 2 0,25

 8 .

^{y = f (x) funksiya V  R}1 ^{to`plamda aniqlangan bo`lib, uning biror-bir V}1 ^{qism osti to`plamidan ixtiyoriy ravishda tanlanadigan ikki x</sup>1 <sup>va x</sup>2 <sup>nuqtalar uchun x</sup>1 <sup>< x</sup>2 <sup>munosabatdan f (x</sup>1<sup>)< f (x</sup>2<sup>) (f (x</sup>1<sup>)≤ f (x</sup>2<sup>)) tengsizlik kelib chiqsa, u holda y = f (x) funksiya V</sup>1 <sup>to`plamda o`suvchi (kamayuvchi emas) deyiladi.
Agarda funksiya aniqlanish sohasiga tegishli V</sup>1 <sup>to`plamdan ixtiyoriy ravishda tanlanadigan ikki x}1 ^{va x}2 ^{nuqtalar uchun x}1^{< x}2 ^{shartdan f (x}1^{)>f (x}2^{) (f (x}1^{) ≥ f (x}2^{) tengsizlik kelib chiqsa, y = f (x) funksiya V}1 <sup>to`plamda</sup> kamayuvchi (o`suvchi emas) deyiladi.
O`suvchi va kamayuvchi funksiyalarga qat`iy monoton funksiyalar
deyiladi.
^{Masalan, y = ex aniqlanish sohasi R}1 ^{da qat`iy monoton o`suvchi funksiyaga} misol bo`lsa, x haqiqiy sonning butun qismi y = [x] esa kamayuvchi mas funksiyaga misol bo`la oladi.
^{y = f (x) funksiya D(y)  R}1 <sup>sohada aniqlangan bo`lib, Ye(u) uning qiymatlar to`plami bo`lsin. Ushbu funksiya uchun har qanday x</sup>1<sup>, x</sup>2 <sup>є D(y) lar qaralmasin, x</sup>1 <sup>≠ x</sup>2 <sup>shart qanoatlantirilganda, f (x</sup>1<sup>) ≠ f (x</sup>2<sup>) munosabat bajarilsin.</sup> U holda, har bir u є E(y) songa f (x) = y tenglikni qanoatlantiruvchi aniq bir x є D(y) sonni mos qo`yish mumkin, boshqacha aytganda, E(y) to`plamda

berilgan y=f (x) funksiyaga teskari x=g(y) funksiyani aniqlash mumkin.
Berilgan y = f (x) funksiyaning qiymatlari to`plami E(y) teskari funksiya uchun aniqlanish sohasi bo`lsa, y = f (x) funksiyaning aniqlanish sohasi D(y) teskari funksiya uchun qiymatlar sohasi rolini o`taydi.
Biror–bir [a; b] kesmada aniqlangan, qat`iy monoton va uzluksiz y = f (x) funksiya, o`zining [f (a); f (b)] kesmada aniqlangan, qat`iy monoton va uzluksiz x = g(y) teskari funksiyasiga ega.
Masalan, y = sin x funksiya ^_ ^_; ^ kesmada aniqlangan, qat`iy monoton
<sub></sub> <sub>2 2</sub> <sub></sub>
o`suvchi va uzluksiz bo`lganidan, [ -1 ; 1 ] kesmada aniqlangan, qat`iy o`suvchi va uzluksiz x = arcsin y teskari funksiyasiga ega.
O`zaro teskari f (x) va g(x) funksiya grafiklari birinchi chorak simmetriya o`qi y = x to`g`ri chiziqqa nisbatan simmetrikdir.

Chegaralangan funksiya. Qavariq va botiq funksiyalar haqi-da tushuncha.

^V1 <sup> D(y) nuqtalar to`plamida berilgan y = f (x) funksiyaning V</sup>1 <sup>da</sup>
erishadigan qiymatlari to`plami yuqoridan (quyidan) chegaralangan bo`lsa,

^{funksiya V}1 ^{da yuqoridan (quyidan) chegaralangan deyiladi.}

y = f (x) funksiyaning yuqoridan (quyidan) chegaralanganligi, shunday bir ^{K son mavjudligini anglatadiki, barcha M є V}1 ^{nuqtalar uchun f (M) ≤ K} (f (M) ≥ K) tengsizlik o`rinli bo`ladi.
^V1 ^{ D(y) nuqtalar to`plamida ham quyidan va ham yuqoridan che- garalangan funksiyaga, V</sup>1 <sup>to`plamda chegaralangan funksiya deb ataladi. Ushbu holda, agar V}1 <sup>= D(y) bo`lsa, y = f (M) funksiya aniqlanish sohasida</sup> chegaralangan deyiladi va uning qiymatlari to`plami chegaralangan sonlar to`plamidan iborat bo`ladi.
^{Agar y = f (M) funksiya V}1 ^{to`plamda yuqoridan (quyidan)
chegaralanmagan bo`lsa, V}1 ^{to`plamga tegishli {M}k^{} nuqtalar ketma-ketligi}

_mavjudki, lim f (M_k ) 
k
( lim f (M_k )  ) munosabat o`rinlidir.
k

Misollar:

1. 
   ^{bir o`zgaruvchili y = x2 funksiya aniqlanish sohasi R}1 ^{da quyidan} chegaralangan funksiyadir, chunki E(y)=[0; ∞);
   
2. 
   ikki o`zgaruvchili y  funksiya o`z aniqlanish sohasi ^{D(y) = {M(x}1^{; x}2^{) є R}2 ^{| x 2 + x 2 ≤ 1} to`plamda chegaralangandir, chunki E(y)}
   

1 2
= [0; 1].
^{y = f (M) funksiya qavariq V  R}n <sup>nuqtalar to`plamida aniqlangan bo`lsin. V qavariq to`plamga tegishli har qanday ikki M</sup>1<sup>(x</sup>1<sup>; x</sup>2<sup>; …; x</sup>n<sup>) va M</sup>2<sup>(u</sup>1<sup>; u</sup>2<sup>; …; u</sup>n<sup>) nuqtalar va ixtiyoriy 0 ≤ α ≤ 1 son uchun f (P) ≤ α f (M</sup>1<sup>) + (1-α) f (M</sup>2<sup>) (f (P) ≥ α f (M</sup>1<sup>) + (1–α) f (M</sup>2<sup>)) tengsizliklar o`rinli bo`lsa, bu yerda R(α x</sup>1 <sup>+(1–α)u</sup>1<sup>; α x</sup>2 <sup>+(1–α)u</sup>2<sup>; …; αx</sup>n <sup>+(1-α)u</sup>n<sup>), u</sup>
holda, y = f (M) funksiya V to`plamda qavariq (botiq) funksiya deyiladi.
^{Masalan, y = x2 funksiya R}1 ^{da qavariq funksiyaga misol bo`lsa, y = -x2 funksiya esa R</sup>1 <sup>da botiq funksiyaga misol bo`ladi. n o`zgaruvchili chiziqli y = a}1^x1 ^{+ a}2^x2 ^{+ … +a}n^xn ^{funksiya R}n ^{fazoda bir vaqtda ham qavariq va ham botiq} funksiyadir.
Qavariq funksiyalar quyidagi xossalarga ega:

1. 
   –f (M) funksiya V to`plamda botiq bo`lgandagina, f (M) funksiya V da qavariq funksiya bo`ladi.
   
2. 
   ^f1^{(M) va f}2^{(M) funksiyalar V to`plamda qavariq bo`lsa, ularning}
   

^{ixtiyoriy nomanfiy k}1 ^{va k}2 ^{koeffitsientli chiziqli k}1^f1^{(M) + k}2^f2^(M) kombinatsiyasi V to`plamda qavariq bo`ladi.

3. 
   f (M) funksiya V to`plamda qavariq bo`lib, {M є V | f (M) ≤ b} to`plam bo`sh bo`lmasa, bu yerda b ixtiyoriy son, u holda to`plamning o`zi ham qavariq to`plamdir.
   

Botiq funksiyalar ham yuqoridagi xossalarga o`xshash xossalarga ega.