Mavzu: Bajardi: Qabul qildi: r e j a

Fredgolm va Voltera tipidagi integral tenglamalarni chekli yig’indilari usulida yechish va dasturlar dastasini tuzish
Biz yana Fredgolmning ikkinchi tur tenglamasi
   b a u(x) f (x)  K(x,t)u(t)dt
haqida so„z yuritamiz. Bu tenglamadagi f (x) funksiyani I kesmada aynan nolga teng emas, uzluksiz va shuningdek, K (x,t) yadroni ham P sohada aynan nolga teng emas va uzluksiz deb faraz qilamiz. U holda (2.1) tenglamaning yechimi absolyut va tekis yaqinlashuvchi ushbu
u(x)  u0 (x)  u1 (x)   2 u2 (x)   n un (x) 
qator ko„rinishida yoziladi (bu usul ketma-ket yaqinlashish usuli deb ataladi va uning isboti kelgusi boblarda ko„rsatiladi), bundagi u (x) lar.


Fredgolm integral tenglamasini matematik paket yordamida sonli yechish

1. 
   Fredgolm integral tenglamalarini yechish
   

Integral tenglamalarni yechishning eng umumiy usullaridan biri ketma- ket yaqinlashsh usuli yoki funksional qator yordami bilan yechish usulidir.
Shunday qilib, ushbu
tenglama berilgan bo`lib, bu yerda f(x) ozod had I(a xb) kesmada noldan farqli uzluksiz funksiya; K(x,t) yadro P (axb, atb) sohada noldan farqli uzluksiz funksiya; a, b,  lar esa o`zgarmas haqiqiy sonlar deb faraz qilinadi (
 0). Berilgan tenglamaning yechimini quyidagi qator shaklida izlaymiz :
u(x)  u0(x) u1(x) 2u2(x) ...nun(x) ...,
bundagi u1(x),u1(x),...,un(x),... lar nomalum funksiyalar. Ularni shunday tanlab olish kerakki, natijada qator integral tenglamaning yechimi bo`lsin. Ana shu maqsadda, ni tenglamaning yechimi deb hisoblab, tenglamaga qo`yamiz:
Biz funksional qatorni biror intervalda tekis yaqinlashuvchi deb faraz qilamiz, shu sababli uni hadlab integrallash mumkin. Bu ayniyatni ikki tomonidagi birxil darajali  larning koeffitsiyentlari teng bo`ladi, yani

Endi bu ifodani yuqoridan boshlab birin-ketin o„zidan keyingisiga qo`yib chiqamiz, natijada quyidagi ifoda hosil bo`ladi:

Mana shu ifodalar yordamida qatorni ushbu

Bo`ladi. Yuqoridagi keltirilgan shartga ko`ra, I kesmada hamda P sohada f (x)  N, N  0, K(x,t)  M, M  0. Bu yerdagi M va N o`zgarmas haqiqiy sonlardir. Shunga asosan ushbu

tengsizlik hosil bo`ladi. Malumki, o`ng tomondagi ifoda cheksiz kamayuvchi geometrik progressiyaning, ya`ni yaqinlashuvchi qatorning umumiy hadi bo`lishi uchun

Bo`lishi shart. Shundagina qator I intervalda absolyut va tekis yaqinlashuvchi qator bo`ladi. Biz hozircha qator tenglamaning yechimi ekanligini ko`rsatdik.
Endi undan boshqa yechimi yo`qligini ko`rsatamiz. Buning uchun aksincha faraz qilamiz, yani tenglamaning yana bitta uzluksiz (x) yechimi bor deb faraz qilamiz. U holda

Buni ayiramiz

deb belgilab olaylik. U holda yuqoridagi tenglikni

Ko`rinishida yozish mumkin. Malumki, a(x) ayirma I kesmada uzluksiz bo`lgani uchun chegaralangan bo`ladi, yani (x)  A, A  0. Shunga asosan (x)K(x,t)(t)dtMA(ba).ba
Bundan foydalanib, tenglikdan quyidagi tengsizlikni hosil qilamiz:


qM(ba)1 bo`lgani uchun, n cheksizlikka intilganda, ifodaning o`ng tomoni nolga intiladi. Shu sababli (x)  0, yani (x)  u(x) bo„ladi. Demak ikkala yechim aslida bitta ekan. Shunday qilib, quyidagi teorema isbot qilindi.
Teorema. Agar f(x) funksiya I kesmada noldan farqli, uzluksiz bo‘lib, ushbu

tengsizlik bajarilsa, u holda

tenglama I kesmada absolyut va tekis yaqinlashuvchi qatordan iborat faqat birgina yechimga ega bo‘ladi. Misollar yechishda u0,u1,u2,... larning ifodalarini formulalar yordamida topib, so`ngra ularni qatorga qo„yib chiqish ishni osonlashtiradi.

1. 
   Integral tenglamalarni yechish usullari. Momentlar usuli Chekli yig‘indilar usuli
   

Ushbu usul aniq integralni kvadratura formulasi yordamida taqribiy yechishga asoslanadi, ya‟ni aniq integralni quyidagicha ifodalaymiz:

bu yerda xii 1,2,...,n - a,b segmentdagi nuqtalar; Aii 1,2,...,n - Fx funksiyaning tanlanishidan bog„liq bo„lmagan sonli koeffitsiyentlar va RF (7.1) formulaning qoldiq hadi. Odatda Ai sonli koeffitsiyentlarni quydagicha tanlanadi:

Masalan:

Bo`lsa, sonli koeffitsiyentlar uchun quyidagilar o`rinli:

1. 
   To`g`ri to`rtburchak formulasi uchun:
   

2. 
   Trapetsiya umumiy formulasi uchun:
   

3.