Matritsaviy o`yinni aralash strategiyalarda yechish. 2x2, 2xn, mx2- o`yinlarni yechish

4 - rasm 5 - rasm

Uyinning II uyinchiga nisbatan grafik tasvirini yasash uchun avvalo to`lov matritsasini transponerlash kerak.

Transponirlashdan so`ng tulov matritsasi 2 – jadval qurinishda buladi

II uyinchining optimal strategiyasini topish grafik ravishda 5 - rasmda kursa-tilgan. II yinchi yutkazigining yuqori chegarasi

A₁″EA₂

strategiyasi E nukta bilan aniklanadi.

Endi 2xn-uyini echishni karaymiz. Bu o`yinda I uyinchi ikkita sof strategiyaga, II o`yinchi esa n ta sof strategiyaga ega. Uyinning to`lovlar matritsasi   kurinishda bo`ladi. Faraz kilaylik, I uyinchi   aralash strategiyasini, II o`yinchi esa  sof strategiyasini tanlagan bo`lsin. U xolda I uyinchining (p, j) vaziyatga mos yutugi   bo`ladi. (8) tenglik geometrik ravishda ξ 0W

koordinatalar tekisligida   tugri chizikni ifodalaydi (6 - rasm). Demak, xar bir  sof strategiyaga

strategiyaga W=W(p,j) to`g`ri chiziq mos keladi.
I uyinchining optimal r* strategiyasini topish uchun   funksiyani aniklaymiz. Xar bir r=(ξ ,1-ξ) uchun F(ξ ) funksiyaning kiymati I uyinchi yutuklarining kuyi chegarasiga tengdir. Endi 

optimal strategiyani   shartdan aniqlaymiz. Bunda  uyin baxosiga teng. Endi II o`yinchi

optimal strategiyasi   qanday aniqlanishini ko`ramiz.

Dastlab faraz qilaylikki,  sinik chizik grafigi ξ0w koordinatalar tekisligida gorizontal kismga ega bo`lsin va bu gorizontal qism  sof strategiyaga mos keluvchi  to`g`ri chiziq bilan xosil kilingan bo`lsin (6 - rasm). Bu faqat

 bo`lganda bajariladi. Bunday xolda j0 sof strategiya II uyinchining yagona optimal strategiyasi bo`ladi, chunki

 bo`lgani uchun   (3 - teoremaga š.)

 

Faraz kilaylikki, I uyinchi optimal strategiyasi r*=(0,1) bo`lsin, ya’ni (9) shartda ξ *=0 bulsin. U vaqtda uyin baxosi

buladi .  to`plamni karaymiz   bo`lsin.  munosabat r*=(1,0) ,  va ixtiyoriy   uchun bajariladi. YA’ni (r*, j*) – muvozanat vaziyatidir. Demak, bu xolda   sof strategiya II qyinchining optimal strategiyasi bo`ladi.

Faraz qilaylikki, I uyinchi optimal strategyasi r*=(1,0) bulsin. U vaktda uyin baxosi   bo`ladi, bu erda

to`plamlarni karaymiz.

 

munosabat r*=(1,0), va   ixtiyoriy   uchun bajariladi, ya’ni (r*, j*)–muvozanat vaziyatdir. Demak, bu xolda   sof strategiya II uyinchining optimal strategiyasi buladi.
r*=(0,1) va r*=(1,0) bo`lgan xollarning grafik tasviri mos ravishda 7 - 8 – rasmlarda keltirilgan.

Nixoyat endi I uyinchi optimal strategiyasi   bulgan xolni qaraymiz. Bu xolda ξ* kamida ikkita W=W(p, j),  tugri chiziqlar kesishish nuktasi abssissasi sifatida aniqlanadi. SHunday ikkita tugri chiziklar

bulsin. Agar II uyinchi j₁ va j₂ strategiyalardan boshqalarini ishlatmasa, xosil bo`lgan 2x2-uyinda I uyinchining optimal strategiyasi va uyin yutugi xuddi dastlabki 2xn-uyindagi kabi buladi. Bu esa II uyinchi fakat j<sub>1</sub> va j<sub>2</sub> strategiyalardan foydalanib I o`yinchining g dan kup yutukka erishishga yul kuymasligini bildiradi. Demak, dastlabki 2xn-uyindagi II uyinchining optimal strategiyasini j₁ va j₂ sof strategiyalar yordamida kurish mumkin. SHunday kilib, xosil kilingan 2x2-uyindagi II uyinchi optimal strategiyasi uning dastlabki 2xn-uyindagi optimal strategiyasi xam bo`ladi. II o`yinchining   optimal strategiyasini xisoblash uchun (6) formuladan foydalanamiz:

 (10)