Matritsaviy o`yinni aralash strategiyalarda yechish. 2x2, 2xn, mx2- o`yinlarni yechish

1 - teorema. Xar kanday matritsaviy uyin aralash strategiyalarda muvozanat vaziyatiga egadir.
Agar (p*,q*) - muvozanat vaziyati bo`lsa, r*- I uyinchining , q* esa II uyinchining optimal aralash strategiyalari bo`ladi.
Optimal aralash strategiyalar va uyin baxosi g uchun

munosabatlar bajariladi.

Bundan tashkari amaliyot uchun kuyidagi teoremaning axamiyati kattadir.
2 – teorema. Gn matritsaviy uyin uchun

tenglik bajariladi va p*,q* optimal aralash strategiyalar

shartlardan aniklanadi.

3 - teorema. Faraz qilaylikki, berilgan G_n matritsaviy uyinda   optimal aralash strategiyalar,γ esa o`yin baxosi bo`lsin. U xolda: agar

 bo`lsa   bo`ladi; agar   bo`lsa   bo`ladi. Aksincha, agar   bo`lsa,   bo`ladi; agar   bo`lsa   bo`ladi.

Isbot. Biror   uchun   va   deb faraz qilaylik, ya’ni   bo'lsin. U vaqtda   Bundan tashqari   bo`lgani uchun   bajariladi. Demak, 

ya`ni   Bu esa γ ning uyin baxosi ekanligiga karama-karshidir. Demak, 

bulganda   bajariladi. Teoremaning kolgan tasdiklari xam shunday isbotlanadi.

Ta’rif. Agar I (mos ravishda, II) uyinchining shunday optimal   (mos ravishda  ) strategiyasi mavjud bulib,   (mos ravishda,  bulsa,  (mos ravishda,

 sof strategiya shu uyinchining aktiv strategiyasi deyiladi.
SHu ta’rifni xisobga olganda 3 - teoremadan kuyidagi natija kelib chikadi.

Natija. Agar I uyinchi r* optimal aralash strategiyani kullasa, rakib tomon kanday aktiv j strategiyani kullamasin, uning yutugi

uyin baxosiga teng buladi, ya’ni   tenglik bajariladi. Xuddi shunga uxshash, agar II uyinchi uzining kanday aktiv i strategiyasini kullamasin, 

tenglik urinli buladi.
Endi shu keltirilgan muloxazalardan foydalanib 2x2-uyinni echish usulini ka-raymiz.

Faraz kilaylik, 2x2 - uyin  matritsa bilan berilgan va egar nuktaga ega bulmasin,

ya’ni   ¡ uyinchilarning optimal strategiyalari p*=(p1,p2), q*=(q1,q2) va uyin baxosi γ

ni topish talab kilinadi.

Kuyidagi tasdik urinli: agar 2x2-uyinda egar nukta mavjud bulmasa, uyinchilarning ikkala strategiyasi gam aktiv buladi, ya’ni, p_j>0, q_j>0, i=1,2; j=1,2. SHuning uchun, 3-teorema natijasiga kura, agar I uyinchi p*=(p1,p2) optimal aralash strategiyani kullasa va II uyinchi j=1 yoki j=2 strategiyalaridan foydalansa, I uyinchining yutug`i uyin baxosiga teng buladi, ya’ni,   j=1,2 bajariladi. r₁+r₂=1 ekanligini xisobga olsak,

 sistemaga ega bulamiz. Bu sistema yagona echimga ega deb faraz kilamiz, ya’ni

(4)

Kursatish mumkinki, agar egar nukta mavjud bulmasa, (4) shart bajariladi. U vaktda optimal r*=(r₁,r₂) strategiyaning komponentalari

 (5)

formula buyicha topiladi.

Xuddi shunga uxshash, 3 - teorema natijasi asosida II uyinchi uchun

sistemani xosil kilamiz va (4) shart bajarilganda uni echib q*=(q₁,q₂) optimal strategiya komponentalarini topamiz:  (6)

keyin baxosi esa  (7)

formula buyicha topiladi.

Endi 2x2 uyin echimining geometrik interpritatsiyasini karaymiz. Buning uchun XOU koordinatalar sistemasining abssissalar ukida uzunligi birga teng bulgan [A₁;A₂] kesma olamiz. Kesma uchlari orkali unga perpendikulyar ikkita tugri chizik utkazamiz va ularda I uyinchi yutugini belgilaymiz (1 - rasm).

Ordinata uki bilan ustma ust tushuvchi chap perpendikulyar r₁=1, r₂=0 bulgan A₁ strategiyaga, ung perpendikulyar esa r₁=0, r₂=1 bulgan A₂ strategiyaga mosdir. II uyinchi V₁ strategiyani kullagan bulsin. U xolda agar I uyinchi A₁ strategiyani kullasa, uning yutugi a₁₁ ga, A₂ strategiyani kullasa, a₂₁ ga teng buladi. Tegishli perpendikulyarlarda a₁₁ va a₂₁ uzunlikdagi

kesmalarni ulchab B₁″ va B₁′ nuktalarni belgilaymiz.

Endi, II uyinchi V₂ strategiyani kullagan bulsin. U xolda, agar I o`yinchi A₁ strategiyani kullasa, uning yutugi a₁₂ ga A₂

strategiyani kullasa, a₂₂ ga teng bo`ladi. Bu xolga mos ravishda tegishli perpendikulyarda a₁₂ va a₂₂ uzunlikdagi kesmalarni

o`lchab. B₂″ va B₂′

nuktalarni belgilaymiz. B₁″B₁′chizik ustidagi ixtiyoriy nuktaning ordinatasi I uyinchining u r=(r₁,r₂ ) aralash strategiyani, II uyinchi esa j=1 sof strategiyani kullagandagi yutugi kiymatiga teng. B₂″ B₂′ chizik ustidagi ixtiyoriy nuktaning ordinatasi I uyinchining u r=(r₁,r₂) aralash strategiyani, II uyinchi esa j=2 sof strategiyani kullagandagi yutugi kiymatiga tengdir.

r* optimal strategiyani topish uchun I uyinchi yutug`ining kuyi chegarasini, ya’ni 1-rasmda yug`onlashtirib

ko`rsatilgan B₂″DB₁′

sinik chizikni yasaymiz. Ravshanki, bu sinik chiziq ustida I uyinchining u ixtiyoriy aralash strategiyani kullagandagi minimal yutuklari yotadi. I uyinchining maksimal yutugini D nukta belgilaydi. D nuktaning ordinatasi esa uyinning baxosi γ

ga teng. Bu nuktaning abssissalar ukidagi proeksiyasiga optimal strategiya  mos keladi. II uyinchining   optimal strategiyasi xam shunday topiladi. Buning uchun I va II uyinchilarning urinlari almashtirish, ya’ni to`lov matritsasini transponirlash va yutuk kuyi chegarasining maksimal kiymatini topish œrniga yutuq yukori chegarasining minimal šiymatini topish kerak (2-rasmga š.)

2-rasm.

1- va 2-rasmlarda o`yinning echimi tugri chiziklarning kesishi nuqtasi sifatida aniklangan. Bu xamma vaqt xam o`rinli bulavermaydi. Masalan, 3-rasmda I o`yinchi yutugining uuyi chegarasi B<sub>2</sub>″B<sub>2</sub>′ kesma bulgan xol kursatilgan. II-uyinchining B<sub>1</sub> stra-tegiyasi u uchun noqulaydir, chunki u bu strategiyani ko`llab xar qanday xolda xam B₂ strategiyani qo`llagandagidan kup yutkazadi. Bu xolda   o`yin egar nuqtaga ega.

 

 

rasm3

 

1-misol. Tulov matritsasi 1- jadvalda keltirilgan o`yinning echimi topilsin va uning geometrik interpritatsiyasi berilsin.

 

 

1-jadval

Bu erda α=2 β=4

ya’ni uyin egar nuktaga ega emas. Uyinning echimini aralash strategiyalarda topamiz.a₁₁=5, a₁₂=-1, a₂₁=2, a₂₂=4. (5), (6), (7) formulalarga ko`ra

 

I o`yinchiga nisbatan uyinning grafik tasviri 4-rasmda kursatilgan. YUtukning quyi chegarasi B₂″DB₁′sinik chiziqni tashkil

etadi. I o`yinchining optimal strategiyasi D nuqta bilan aniqlanadi.

4-rasm