Matritsaviy o`yinni aralash strategiyalarda yechish. 2x2, 2xn, mx2- o`yinlarni yechish
Faraz qilaylik, mxn - o‘lchamli GN matritsaviy o‘yin berilgan, uning to‘lovlar matritsasi
bo‘lib, o‘yinda egar nuqta (muvozanat vaziyati) mavjud bo‘lmasin, ya’ni o‘yinning quyi baxosi va yuqori baxosi uchun α<β munosabat bajarilsin. Bu xolda minimaks va maksimin strategiyalar optimal bo‘la olmaydilar. Quyidagi misolda ko‘rsatamizki, muvozanat xolatga ega bo‘lmagan o‘yinda minimaks yoki maksimin strategiyadan foydalanish ma’kul emas.
To`lovlar matritsasi bo‘lsin. Bu matritsa uchun α <β ya’ni muvozanat holati mavjud emas. Birinchi o‘yinchining maksimin strategiyasi ì *=1, ikkinchi o‘yinchining minimaks strategiyasi esa j *=2, Agar ikkinchi o‘yinchi j *=2, strategiyadan foydalansa va birinchi o‘yinchi i=2, strategiyani tanlasa, u 3 ga teng yutuk oladi, bu esa maksimindan 2 birlik kattadir. Ammo, agar ikkinchi o‘yinchiga birinchi o‘yinchining strategiya tanlashi ma’lum bo‘lib qolsa, u o‘zining strategiyasini j=1 ga o‘zgartiradi va unda birinchi o‘yinchi fakat nolga teng yutukka, ya ni maksimin xolidan 1 birlik kam yutuqqa ega bo‘ladi, xolos. Xuddi shunday muloxazalarni ikkinchi o‘yinchi xam yuritishi mumkin.
Endi, muvozangat xolati mavjud bo‘lmagan xolda o‘yinchilar kanday xarakat kilishlari kerak degan savol paydo bo‘ladi.
Bunday savolga o‘yinchilarning o‘z strategiyalarini tasodifiy tanlash orkali javob berish mumkin. Chunki, birinchidan tasodifiy tanlash strategiyaning max-fiyligini ta minlasa, ikkinchidan okilona kurilgan tasodifiy tanlash mexanizmidan foydalanish strategiyaning optimalligini ta minlaydi.
Ta'rif N matritsa satrlari nomerlarining Μ={1,2,....,m} to‘plamda ehtimolli taqsimotiga I o‘yinchining aralash strategiyasi deyiladi. Xuddi shuningdek, N matritsa ustunlari nomerlarining
N={1,2,....,m} to‘plamdagi extimolli taqsimotiga II o‘yinchining aralash strategiyasi deyiladi.
SHunday qilib, I o`yinchining r aralash strategiyasi
vektordan iborat. II uyinchining q aralash strategiyasi esa
vektordan iborat bo`ladi. Bunda va larni o`yinchilar r va q aralash strategiyalardan foydalangandagi
va sof strategiyalarning tanlanish extimollari deb tushunish mumkin.
P va Q bilan mos ravishda I va II uyinchilarning aralash strategiyalar to`plamini belgilaymiz. P va Q to`plamlar chegaralangan va yopik tuplamlardir.
aralash strategiyani karaymiz, bu yerda
Bu strategiya N matritsa i-satrining 1ga teng extimol bilan tanlanishini bildiradi. aralash strategiyaning tanlanishi I o`yinchining sof strategiyasini tanlash bilan tenglashtirish mumkin. Xuddi shuningdek, aralash strategiyani II uyinchining sof strategiyasi bilan tenglashtirish mumkin. Demak, aralash strategiyalar to`plamini sof strategiyalar to`plamining kengaytirilishi deb qarash mumkin.
va aralash strategiyalarning ixtiyoriy (p,q) juftiga Gn uyindagi vaziyat deyiladi.
Endi o`yindagi (p,q) vaziyatga mos keluvchi I uyinchi yutishini
deb belgilaymiz. ¡ uyinchilardan biri i yoki j sof strategiyani, ikkinchisi esa q yoki p aralash strategiyani qullaganda W(i,q) va W(p,j) yutuklar kuyidagi ko'rinishda buladi:
SHunday kilib, biz Gn=< M,N,H> o`yindan uyinga keldik, bu erda P,Q - aralash strategiyalar tuplamlari, W esa (1) kurinishdagi yutuklar funksiyasidir. Xosil qilingan o`yinga Gn o`yinning aralash kengaytirilishi deymiz.
Ta’rif. Agar (p*,q*) vaziyat uchun
munosabat barcha uchun bajarilsa, (p*,q*) muvozanat vaziyati,
ga esa n uyinning baxosi (kiymati) deyiladi.
uyinda muvozanat vaziyatining mavjudligi matritsaviy uyinlarning asosiy teoremasi deb ataluvchi kuyidagi teoremada keltirilgan:
Do'stlaringiz bilan baham: |