Matritsalar. Chiziqli tenglamalar sistemasi Mavzu rejasi

Teorema (Kramer qoidasi). Agar tizimning determinanti Δ ≠ 0 bo'lsa, u holda ko'rib chiqilayotgan tizim bitta va bitta echimga ega, va

Dalillar... Shunday qilib, uchta noma'lum bo'lgan 3 tenglama tizimini ko'rib chiqamiz. Tizimning 1-tenglamasini algebraik komplementga ko'paytiramiz A 11 element a 11, 2-tenglama - yoqilgan A 21 va 3 - kuni A 31:

Ushbu tenglamalarni qo'shamiz:
Qavslarning har birini va ushbu tenglamaning o'ng tomonini ko'rib chiqamiz. Determinantni 1-ustun elementlari bo'yicha kengaytirish haqidagi teorema bo'yicha
Xuddi shunday, kimdir buni ko'rsatishi mumkin.
Nihoyat, buni ko'rish oson
Shunday qilib, biz tenglikni olamiz:.
Shuning uchun,.
Tengliklar va shunga o'xshash tarzda olinadi, bu erda teorema bayonoti kelib chiqadi.
Shunday qilib, agar tizimning determinanti Δ ≠ 0 bo'lsa, unda tizim noyob echimga ega va aksincha ekanligini ta'kidlaymiz. Agar tizimning determinanti nolga teng bo'lsa, u holda tizim cheksiz echimlar to'plamiga ega, yoki echimlarga ega emas, ya'ni. nomuvofiq.
Misollar.Tenglamalar tizimini yeching



GAUSS USULI
Ilgari ko'rib chiqilgan usullardan faqat tenglamalar soni noma'lumlar soniga to'g'ri keladigan tizimlarni echishda foydalanish mumkin va tizimning determinanti noldan farq qilishi kerak. Gauss usuli ko'proq qirrali va har qanday tenglamalarga ega tizimlar uchun mosdir. Bu tizim tenglamalaridan noma'lum narsalarni ketma-ket olib tashlashdan iborat.
Uchta noma'lum bo'lgan uchta tenglama tizimini yana ko'rib chiqing:
.
Biz birinchi tenglamani o'zgarmagan holda qoldiramiz va 2 va 3 dan o'z ichiga olgan atamalarni chiqarib tashlaymiz x 1... Buning uchun biz ikkinchi tenglamani quyidagiga ajratamiz va 21 va ko'paytiring - va 11 va keyin 1-tenglamaga qo'shing. Xuddi shunday, biz uchinchi tenglamani ikkiga ajratamiz va 31 va ko'paytiring - va 11 va keyin birinchisiga qo'shing. Natijada, asl tizim quyidagi shaklga ega bo'ladi:

Endi biz oxirgi tenglamadan o'z ichiga olgan atamani chiqarib tashlaymiz x 2... Buning uchun uchinchi tenglamani ikkiga bo'ling, ko'paytiring va ikkinchisiga qo'shing. Keyin bizda tenglamalar tizimi bo'ladi:

Demak, oxirgi tenglamadan uni topish oson x 3, keyin 2-tenglamadan x 2 va nihoyat 1-dan - x 1.
Gauss usulidan foydalanilganda, kerak bo'lganda tenglamalarni almashtirish mumkin.
Ko'pincha, yangi tenglamalar tizimini yozish o'rniga, ular tizimning kengaytirilgan matritsasini yozish bilan cheklanadi:

va keyin uni elementar transformatsiyalar yordamida uchburchak yoki diagonal shaklga keltiring.
TO elementar transformatsiyalar matritsalar quyidagi o'zgarishlarni o'z ichiga oladi:

1. 
   qatorlar yoki ustunlarni almashtirish;
   
2. 
   mag'lubiyatni noldan boshqa songa ko'paytirish;
   
3. 
   bir qatorga boshqa qatorlarni qo'shish.