Matritsalar. Chiziqli tenglamalar sistemasi Mavzu rejasi

Kroneker-Kapelli teoremasi ... Chiziqli tenglamalar tizimi, agar A va A matritsalarining qatorlari mos keladigan bo'lsa, ya'ni r (A) \u003d r (-A) \u003d r.
Tizim (5.1) echimlarining M to'plami uchun uchta imkoniyat mavjud:
1) M \u003d  (bu holda tizim mos kelmaydi);
2) M bitta elementdan iborat, ya'ni. tizim noyob echimga ega (bu holda tizim deyiladi aniq);
3) M bir nechta elementlardan iborat (u holda tizim deyiladi aniqlanmagan). Uchinchi holatda, tizim (5.1) cheksiz ko'p echimga ega.
R (A) \u003d n bo'lgan taqdirda tizim noyob echimga ega. Tenglamalar soni noma'lumlar sonidan kam emas (mn); agar m\u003e n bo'lsa, u holda m-n tenglamalar boshqalarning oqibatlari hisoblanadi. Agar 0 bo'lsaIxtiyoriy chiziqli tenglamalar tizimini echish uchun tenglamalar soni noma'lumlar soniga teng bo'lgan tizimlarni echishga qodir bo'lishingiz kerak. Kramer tipidagi tizimlar:
a 11 x 1 + a 12 x 2 + ... + a 1n x n \u003d b 1,
a 21 x 1 + a 22 x 2 + ... + a 2n x n \u003d b 2, (5.3)
... ... ... ... ... ...
a n1 x 1 + a n1 x 2 + ... + a nn x n \u003d b n.
Tizimlar (5.3) quyidagi usullardan biri bilan hal qilinadi: 1) Gauss usuli yoki noma'lumlarni yo'q qilish usuli; 2) Kramer formulalari bo'yicha; 3) matritsa usuli bilan.
2.12-misol... Tenglamalar tizimini o'rganing va mos keladigan bo'lsa, uni hal qiling:
5x 1 - x 2 + 2x 3 + x 4 \u003d 7,
2x 1 + x 2 + 4x 3 - 2x 4 \u003d 1,
x 1 - 3x 2 - 6x 3 + 5x 4 \u003d 0.
Qaror.Biz kengaytirilgan tizim matritsasini yozamiz:
 .
Tizimning asosiy matritsasi darajasini hisoblaymiz. Shubhasiz, masalan, yuqori chap burchakdagi ikkinchi darajali minor \u003d 7  0; uni o'z ichiga olgan uchinchi darajali voyaga etmaganlar nolga teng:

Binobarin, tizimning asosiy matritsasining darajasi 2 ga teng, ya'ni. r (A) \u003d 2. kengaytirilgan A matritsasining darajasini hisoblash uchun chegaradosh minorni ko'rib chiqing

shuning uchun kengaytirilgan matritsaning darajasi r (-A) \u003d 3. r (A) -r (-A) bo'lgani uchun, tizim mos kelmaydi.
Umuman olganda tenglamalar, chiziqli algebraik tenglamalar va ularning tizimlari hamda ularni echish usullari matematikada nazariy va amaliy jihatdan alohida o'rin tutadi. Buning sababi shundaki, jismoniy, iqtisodiy, texnik va hatto pedagogik muammolarning aksariyati turli xil tenglamalar va ularning tizimlari yordamida tavsiflanishi va echilishi mumkin. So'nggi paytlarda matematik modellashtirish deyarli barcha mavzularda tadqiqotchilar, olimlar va amaliyotchilar orasida alohida mashhurlikka erishdi, bu turli xil tabiat ob'ektlarini, xususan, murakkab tizimlar deb nomlanuvchi boshqa taniqli va sinovdan o'tgan usullardan ustunligi bilan izohlanadi. Matematik modelga turli davrlarda olimlar tomonidan berilgan turli xil ta'riflarning xilma-xilligi mavjud, ammo bizning fikrimizcha, eng muvaffaqiyatli bo'lgan quyidagi so'zlar. Matematik model - bu tenglama bilan ifodalangan fikr. Shunday qilib, tenglamalar va ularning tizimlarini tuzish va echish qobiliyati zamonaviy mutaxassisning ajralmas xarakteristikasidir.
Lineer algebraik tenglamalar tizimini echish uchun eng ko'p ishlatiladigan usullar quyidagilardir: Kramer, Jordan-Gauss va matritsa usuli.
Matritsali yechim usuli - teskari matritsa yordamida nolga teng bo'lmagan determinantli chiziqli algebraik tenglamalar tizimini echish usuli.
Agar noma'lum xi qiymatlari koeffitsientlarini A matritsasiga yozsak, noma'lum miqdorlarni X vektor ustuniga, erkin atamalarni B vektor ustuniga yig'sak, u holda chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini quyidagi matritsa tenglamasi sifatida yozish mumkin A X \u003d B, faqat o'ziga xos echimga ega A matritsaning determinanti nolga teng bo'lmaganida. Bunday holda, tenglamalar tizimining echimini quyidagi usulda topish mumkin X = A -1 · Bqayerda A -1 - teskari matritsa.