"Matematika" yo’nalishi 2-kurs 19

Ixtiyoriy oraliq bo’lgan hol. funksiya 2l uzunlikdagi ixtiyoriy oraliqda berilgan va bo’lakli-differensiallanuvchi bo’lsin. Ushbu, almashtirish o’tkazsak, y ning dagi bo’lakli-differensiallanuvchi funksiyasi hosil bo’ladi. Bu funksiyaga funksiyaning davriy bo’lmagan holidagi bayon etilgan fikrlarni qo’llash mumkin. Biz yuqorida, uni ning chekki nuqtalaridan va funksiyaning uzilish nuqtalaridan boshqa hamma nuqtalarida Furye qatoriga yoyish mumkin ekanligini ko’rdik:

Bu qatorning koeffitsiyentlari Eyler-Furye formulalari yordamida topiladi:

Endi avvalgi o’zgaruvchi x ga qaytaylik: deb olib berilgan uchun biroz o’zgartirilgan trigonometrik qatorni hosil qilamiz:

Bu formulada x ga karrali burchaklarning emas, balki ga karrali burchaklarning kosinus va sinuslari qatnashyapti. Koeffitsiyentlarni aniqlaydigan formulalarda ham yuqoridagi almashtirishni o’tkazib, ularni quyidagi ko’rinishda yozish mumkin edi:
(14)
nuqtalarga oid eslatmalar bu yerda ham nuqtalarga nisbatan o’z kuchida qoladi. Albatta, ko’rilgan oraliqni 2l uzunlikdagi boshqa ixtiyoriy oraliqqa almashtirish mumkin. Masalan, oraliq olinsa, (14) formulalar quyidagi formulalar bilan almashinar edi:

(14a)


Faqat kosinuslar yoki faqat sinuslar bo’yicha yoyish
Agarda oraliqda (uzluksiz yoki hech bo’lmasa, bo’lakli-uzluksiz) toq funksiya berilgan bo’lsa, u holda

bo’ladi. Bu integralni ikkita integral yig’indisi sifatida yozib, ikkinchi integralda o’zgaruvchi x ni ­–x ga almashtirish bilan bunga ishonch hosil qilish mumkin. Xuddi shuningdek, juft funksiya uchun

ekanini ko’rsatish mumkin.
Endi, da bo’lakli-differensiallanuvchi, juft funksiya berilgan bo’lsin. U holda ko’paytma toq funksiya bo’ladi va demak,

Shunday qilib, juft funksiyaning Furye qatorida faqat kosinuslar ishtirok etadi:

Ayni vaqtda funksiya ham juft bo’lgani uchun va, yuqoridagi ikkinchi eslatmaga asoslanib a_n koeffitsiyentlarni quyidagicha yoza olamiz:

Agar berilgan funksiya toq bo’lsa, u holda funksiya ham toq funksiya bo’ladi va, demak,

Bundan toq funksiyaning Furye qatorida faqat sinuslargina ishtirok etadi degan xulosaga kelamiz:

Shu bilan birga, ning juft funksiya bo’lishligidan yoza olamiz:

Kezi kelganda shuni ham aytib o’tish kerakki, da berilgan ixtiyoriy funksiyani ikkita – biri toq, biri juft funksiyalarning yig’indisi sifatida yozish mumkin:

bu yerda

Ravshanki, funksiyaning Furye qatori ning faqat kosinuslar bo’yicha, ning faqat sinuslar bo’yicha yoyilmalarining yig’indisidan iborat bo’ladi.
Endi funksiyamiz faqat oraliqda berilgan deb faraz qilaylik. Uni shu oraliqda Furye qatoriga yoyish maqsadida, funksiyamizni x ning oraliqdagi qiymatlari uchun ixtiyoriy (ammo bo’lakli differensiallanishini saqlab) aniqlab, aniqlanish sohasini ga to’ldiramiz. Funksiyani aniqlashdagi bu ixtiyoriylik, funksiya uchun har xil trigonometrik qatorlar hosil qilish imkoniyatini beradi.
Funksiyaning oraliqda aniqlanishining ixtiyoriyligidan foydalanib, ni faqat kosinuslar yoki faqat sinuslar bo’yicha yoyilmasini hosil qilish mumkin. Haqiqatdan ham, da
(19)

b)

a)
deb olsak, natijada da juft funksiya hosil bo’ladi (a-chizma).

Uning yoyilmasi yuqorida ko’rganimizdek, faqat kosinuslardan iborat bo’ladi. Yoyilma koeffitsiyentlarini (16) formula bilan hisoblash mumkin. Bu formulaga avval berilgan funksiyaning qiymatlarigina kiradi.

Agar funksiyaning aniqlanishi funksiya toq bo’lib qoladigan qilib quyidagicha
(20)
to’ldirsak, , u holda (b-chizma) uning yoyilmasida faqat sinuslar bo’lgan hadlar ishtirok etadi. Koeffitsiyentlar (18) formuladan aniqlanadi.
Shunday qilib, oraliqda berilgan funksiyani ma’lum shartlar bajarilsa, kosinuslar bo’yicha ham, sinuslar bo’yicha ham qatorga yoyish mumkin ekan.
Lekin, nuqtalarda bu yoyilmalarning xarakteri alohida tekshirishni talab etadi. Bu nuqtalarda ikkala yoyilma turlicha xarakterdadir. Soddalik uchun berilgan funksiya nuqtalarda uzluksiz deb olaylik va kosinuslar bo’yicha yoyilmani tekshiraylik. Avvalo x=0 da (19) shart funksiyaning uzluksizligini saqlaydi va demak, (15) qator x=0 da ga yaqinlashadilar. Undan tashqari,

bo’lgani uchun da ham vaziyat yuqoridagidek bo’ladi.
Sinuslar bo’yicha yoyilmaning xarakteri boshqacharoqdir. (20) shartning uzluksizlikning buzilishiga doir va boshqa mulohazalarga berilmasdan faqat shunigina qayd qilamizki, (17) qatorning yig’indisi nuqtalarda nolga teng. Demak, bu qatorning yig’indisi ga faqatgina ularning qiymati nol bo’lgandagina teng bo’ladi.
Agar funksiya oraliqda berilgan bo’lsa, o’zgaruvchini almashtirish yordamida, uni kosinuslar bo’yicha

yoki sinuslar bo’yicha

qatorlarga yoyish masalasini hozirgina yuqorida ko’rilgan holga keltiramiz. Bu yoyilmalarning koeffitsiyentlari esa, mos ravishda ushbu formulalar bo’yicha hisoblanadi: