"Matematika" yo’nalishi 2-kurs 19

Asosiy lemma. Tekshirishlarimizni davom ettirishdan oldin, kelajakda qo’llaniladigan ushbu lemmani isbot qilamiz (bu muhim lemma Rimanga tegishlidir):
Agar g(t) funksiya chekli oraliqda uzluksiz yoki bo’lakli-uzluksiz bo’lsa, u holda

va shunga o’xshash,

bo’ladi.
Lemmani isbotlash uchun ni uzluksiz deb faraz qilib birinchi munosabatni isbot qilish yetarlidir.
Dastavval, ushbu tengsizlikni e’tiborga olaylik: ixtiyoriy chekli oraliq uchun ushbu baholash o’rinli bo’ladi:

Endi oraliqni
(6)
nuqtalar bilan n bo’lakka bo’lamiz va shunga mos ravishda, integralni ham integrallar yig’indisi qilib yozamiz.

funksiyaning i-segmentchadagi eng kichik qiymatini m_i bilan belgilab, yuqoridagi ifodani quyidagicha yozib olish mumkin:

Agar funksiyaning i-segmentchadagi tebranishini desak, shu segmentchadagi t lar uchun bo’ladi. Yuqoridagi (5) tengsizlikni e’tiborga olib, qarayotgan untegralimiz uchun quyidagi bahoni olamiz.

Ixtiyoriy kichik olib, oraliqni (6) bo’yicha maydalashni shunday tanlaymizki, bo’lsin. U holda

funksiyaning uzluksizligidan, maydalshni ko’rsatilgandek tamlab olish mumkin. Endi, m_i lar ham aniqlangani uchun deb olish mumkin, ana shu p lar uchun

ga ega bo’lamiz. Demak, lemma isbot etildi.
Bu yerda integrallar intilayotgan limitlar integral ishorasi ostida limitga o’tish qoidasini qo’llanmay aniqlanganiga e’tiborimizni jalb qilamiz.
Furye koeffitsiyentlarini ifodalovchi (1) formulalarni eslab, keltirlgan lemmaning bevosita natijasi sifatida quyidagi faktga ega bo’lamiz:
Bo’lakli-uzluksiz funksiyaning Furye koeffitsiyentlari da nolga intiladilar.
2.2 Lokalizatsiya prinsipi (Lokallashtirish prinsipi)

Isbot etilgan lemmaning ikkinchi bir bevosita natijasi sifatida “lokallashtirish prinsipi” deb ataluvchi teoremani keltiramiz.

Ixtiyoriy musbat son olib (4) dagi ikkita integralga bo’lamiz: Ikkinchi integralni quyidagicha yozib olamiz:

Endi, sinus oldidagi ko’paytuvchi berilgan oraliqda t ning bo’lakli-uzluksiz funksiyasi ekani ravshan: kasrning suratidagi funksiya shunday funksiyadir, maxraj esa bu oraliqda nolga aylanmaydi va uzluksizlikni saqlaydi. Shuning uchun lemmaga ko’ra, yuqoridagi integral da nolga intiladi ve demak, Furye qatorining xususiy yig’indisi ning limiti mavjudligi va kattaligi ushbu

integralning dagi xarakteri bilan batamom aniqlanadi. Bu integralda esa funksiyaning argumentning oraliqdagi qiymatlariga mos qiymatlarigina ishtirok etyapti. Ana shu oddiygina mulohaza bilan ushbu “lokallashtirish prinsipi” isbot qilinadi:
Teorema. funksiya Furye qatorining biror nuqtadagi tabiati^* shu funksiyaning faqat qaralayotgan nuqtaning yaqinidagi, ya’ni istalgan kichik atrofidagi qabul qiladigan qiymatlarigagina bog’liqdir.
Shunday qilib, agar, misol uchun ikkita funksiya berilgan bo’lib, ularning qiymatlari nuqtaning biror kichik atrofida bir xil bo’lsa, ular shu atrofdan boshqa nuqtalarda qanchalik farq qilmasinlar, ularning mos Furye qatorlari nuqtada bir vaqtda yo uzoqlashadilar yoki bittagina miqdorga (yig’indiga) yaqinlashadilar.
Bu natija yana shunisi bilan diqqatga sazovorki, qaralayotgan ( ning kichik atrofida teng) funksiyalarning mos Furye koeffitsiyentlari bir-biridan butunlay farqli bo’lishi mumkin.
Yuqoridagi teoremani, odatda, Riman nomi bilan bog’laydilar, chunki u 1853-yilda Riman isbot qilgan umumiyroq teoremaning natijasidir. Ammo, shuni qayd qilish kerakki, “lokallashtirish prinsipi” g’oyasi Ostrogradskiyning 1828-yildagi matematik fizikadan yozilgan bir asaridayoq keltirilgan. Shuningdek, Lobachevskiyning trigonometrik qatorlarga bag’ishlangan tekshirishlarida (1834 y) ham bu g’oya aks etgan.