"Matematika" yo’nalishi 2-kurs 19

Misollar. Quyida misol sifatida keltiriladigan funksiyalar differensial-lanuvchi yoki bo’lakli-differensiallanuvchi funksiyalar sinfiga tegishlidir. Demak, ularni Furye qatoriga yoyishning o’zi shubhadan xoli va shu sabali bu masalaga to’xtalib o’tirmaymiz.

1. 
   Ushbu
   

funksiya oraliqda qatorga yoyilsin.
(1a) formulaga ko’ra:







Shunday qilib, faqat sinuslargina ishtirok etgan ajoyib va sodda yoyilmaga ega bo’lamiz:

nuqtada qator yig’indisi nolga aylanadi va tenglik buziladi. Eslab o’tilgan oraliqdan tashqarida ham tenglik bajarilmaydi. Qator yig’indisi S(x) ning grafigi (1-chizma) cheksiz parallel kesmalardan va x o’qidagi ayrim-ayrim nuqtalardan tashkil topgan.

2) Yuqoridagi yoyilmadan natija sifatida boshqa qiziq yoyilmalar hosil qilish mumkin. x o’rniga 2x qo’yib va tenglikning ikkala tomonini 2 ga bo’lib, (*) dan

ga ega bo’lamiz. Bu yoyilmani yuqorisidan ayirib,

ni hosil qilamiz.
Bu qator yig’indisini deb belgilaylik. Ravshanki, . x ning ishorasini o’zgartirib, sinusning toq funksiyaligidan foydalanib x ning dagi qiymatlari uchun ekanini topamiz. X ning boshqa qiymatlari uchun esa davriylik qonuniga ko’ra topiladi, masalan, oraliqda yana va hokazo. funksiya grafigi 3-chizmada tasvirlangan.

3-chizma
Eslatma: Keltirilgan yoyilmada deb olinsa, bizga ma’lum bo’lgan Leybnis qatoriga ega bo’lamiz:

Bu yoyilmani (*) yoyilma bilan birga qarab, x funksiyaning o’zi uchun quyidagi quyidagi qatorni hosil qilish oson:

Bu yoyilma bevosita x ning qiymatlari uchun kelib chiqadi, ammo u x=0 da ham, ravshanki, o’rinli. Bundan tashqari har ikki tomon toq funksiyalar bo’lgani uchun, yoyilma, umuman, oraliq uchun ham to’g’ri bo’ladi.
Qator yig’indisining, argument o’zgargandagi grafigi 4-chizmada keltirilgan.

4-chizma
3) Quyidagi funksiyalar qatorga yoyilsin (a ni butun son emas deb olamiz).
(a) juft funksiyani oraliqda kosinuslar bo’yicha;
(b) toq funksiyani oraliqda sinuslar bo’yicha;
(a) Hisoblashlar o’tkazamiz:


Demak,

Javob:

Eslatma: Bu yoyilmalardan ham ajoyib limitlar olish mumkin.
(a) da x=0 deb olinsa,

hosil bo’ladi. Yoki bu yerda deb olsak:

yoyilmaga ega bo’lamiz (z – ixtiyoriy, π ga karrali bo’lmagan son). deb hisoblab, funksiyaning “sodda kasrlarga yoyilmasi”ni topishimiz mumkin:

4) Ushbu funksiyani oraliqda kosinuslar bo’yicha yoyilsin.
Koeffitsiyentlarni (16) formula bo’yicha hisoblaymiz:

va (ikki marta bo’laklab integrallash yordamida)

Hosil qilingan bu

yoyilma oraliq uchun chiqarilgan bo’lsa-da, aslida oraliqda ham o’rinlidir, chunki tenglikning har ikkala tomoni ham x ni ga almashtirganda o’z qiymatini o’zgartirmaydi.