"Matematika" yo’nalishi 2-kurs 19

2.3 Funksiyani Furye qatori yordamida tasvirlash
Endi Furye qatorining xususiy yig’indisi ning xarakterini o’rganishga qaytaylik. Biz uchun (4) integral ifodani topgan edik.
funksiyamizga yanada og’irroq shart qo’yaylik: funksiya oraliqda bo’lakli-differensiallanuvchi bo’lsin. U holda ushbu umumiy teorema o’rinlidir:
Teorema. Agar davrga ega bo’lgan funksiya oraliqda bo’lakli-differensiallanuvchi bo’lsa, bu funksiyaning Furye qatori har bir nuqtada yaqinlashadi va yig’indiga ega bo’ladi. Agar nuqtada funksiya uzluksiz bo’lsa, ravshanki, bu yig’indi ga teng bo’ladi.
Isbot. (4) tenglik qo’yilgan shartlarga bo’ysunuvchi har bir funksiya uchun ham o’rinli bo’ladi. Xususan, agar deb olsak, u holda bo’ladi va (4) tenglikdan

ga ega bo’lamiz. Bu tenglikning ikkala tomonini o’zgarmas son ga ko’paytiramiz va uni (4) tenglikdan ayiramiz:

O’ng tomondagi integralning da nolga intilishi ko’rsatilsa, teorema isbotlangan bo’ladi.
Bu integralni quyidagi ko’rinishda yozib olamiz:

bundan:

Ana shu funksiyaning bo’lakli-uzluksiz ekanligi isbot etilsa, yuqoridagi Rimen lemmasiga asosan, (9) integralning dagi limiti nol bo’lishi kelib chiqadi. oraliqning chekli sondagi nuqtalaridagina bu funksiya sakrashga ega bo’lishi mumkin, qolgan barcha nuqtalarida esa uzluksiz bo’ladi, chunki funksiya shunday funksiyadir. Demak, funksiyaning dag xarakterini tekshirishimiz qoldi, xolos.
Ushbu chekli limit

ning mavjud ekanini ko’rsataylik, shunda deb olib funksiyamizni t=0 da uzluksiz qila olamiz va unda lemmani qo’llash qonuniydir. Biroq (10) tenglikning o’ng tomonidagi ikkinchi ko’paytuvchining dagi limiti 1 ekani ravshan; endi kvadrat qavs ichidagi ifodaga e’tibor qilaylik.
Soddalik uchun, avval nuqta funksiya differensiallanuvchi bo’lgan oraliqning ichki nuqtasi bo’lsin. U holda bo’ladi va ushbu nisbatlar

ning har biri limitga intiladi va demak, […] ifoda esa nolga intiladi. Endi x₀ “ulanish nuqtasi” bo’lsin, bunda u yo uzluksizlik nuqtasi yoki uzilish nuqtasi bo’lishi mumkin. Birinchi holda yana (11) dagi nisbatlarga duch kelamiz, ular endi turli limitlarga, ya’ni mos ravishda o’ng va chap hosilalarga intiladilar. Ikkinchi holda, ya’ni uzilish nuqtasi bo’lganda ham shunday natijaga duch kelamiz:
o’rniga “ulanayotgan” funksiyalarning qiymatlari olinadi, nisbatlarning limitlari shu ulanayotgan funksiyalarning nuqtadagi bir tomonli hosilalari bo’ladi.
Shunday qilib, hamma hollarda ham xulosamiz o’rinli ekan.