Matematik fizikaning ko’pgina masalalari noma`lum funksiya nisbatan

§6.2. Volterra tenglamalari. Ketma-ket yaqinlashish usuli

Ta’rif. Ushbu

(12)

(13)

integral tenglamalarga mos ravishda Volterraning birinchi va ikkinchi tur integral tenglamalari deyiladi. Bunda – noma’lum funksiya, tenglamaning parametri, f(x) – ozod had I( ) kesmada va K(x,y) tenglamaning yadrosi – R( , ) yopiq sohada berilgan deb hisoblanadi.

Volterra ikkinchi tur (13) integral tenglamasini ketma-ket yaqinlashish usuli bilan yechamiz. 6.1 paragrafdagi mulohazalarni qaytarib,

(14)

funksiyalar ketma-ketligini hosil qilamiz, bunda

,

Belgilashlar kiritildi. Bu holda

(15)

tengsizliklarga ega bo’lamiz.

Musbat hadli funksional qator parametrning ixtiyoriy chekli qiymatida tekis yaqinlashuvchi bo’lgani uchun (15) tengsizliklarga asosan (14) funksiyalar ketma-ketligi absolut va tekis yaqinlashuvchi bo’lib, uning limiti bo’lgan funksiya (13) tenglamaning yechimidan iborat bo’ladi.

Endi (13) tenglama yechimining yagona ekanligini ko’rsatamiz.

Faraz qilaylik, (13 ) tenglama ikkita va uzluksiz yechimlarga ega bo’lsin. Bularning ayirmasi bir jinsli

(16)

tenglamani qanoatlantiradi.

deb belgilab olsak, (16) dan

tengsizlik kelib chiqadi. Bundan foydalanib (16) tenglikdan

tengsizlikni hosil qilamiz. Bu jarayonni davom ettirib, ixtiyoriy natural n uchun

tengsizlikni hosil qilamiz. Bu tengsizlikdan da yoki ekanligi kelib chiqadi.

Shunday qilib quyidagi xulosaga keldik. Volterraning ikkinchi tur (13) integral tenglamasi, uning yadrosi va ozod hadi uzluksiz funksiyalar bo’lganda parametrning har bir chekli qiymati uchun yagona yechimga ega bo’ladi.

Bu esa Volterraning ikkinchi tur integral tenglamasi har bir uchun ham yechimga ega bo’lavermaydigan Fredgolmning ikkinchi tur integral tenglamasidan tubdan farq qilishini ko’rsatadi.

Misol. Ushbu

tenglamani ketma-ket yaqinlashish usulidan foydalanib yeching.

Ro’rinib turibdiki

va

Endi quyidagi munosabatlardagi ifodalarni hisoblab chiqamiz:

va hokazo. Bu ifodalarning hosil bo‘lishidagi qonuniyat ko‘rinib turibdi. Ularning yig‘indidsini hisoblasak, izlanayotgan yechimni hosil qilamiz: