Matematik fizikaning ko’pgina masalalari noma`lum funksiya nisbatan

§6.4. Ajralgan yadroli Fredgol’m tenglamalari

Ta’rif. Agar (2) Fredgol’m ikkinchi tur tenglamasida ishtirok etayotgan yadro ushbu

(21)

ko’rinishga ega bo’lsa, bunday yadroga ajralgan (o’zgaruvchilari ajralgan) yadro deyiladi, va lar kesmada uzluksiz funksiyalar.

Ajralgan yadro uchun (2) integral tenglamani chiziqli algebraik tenglamalar sistemasiga keltirib yechish mumkin. Haqiqatan ham,

tenglamaga (21) yadroni qo’yib, quyidagi ko’rinishdagi tenglamaga kelamiz:

(22)

bu yerda - noma’lum sonlar.

Shunday qilib, ajralgan yadroli (2) tenglamaning yechimini (22) ko’rinishda qidirish kerak. Bu funksiyani (2) tenglamaga qo’yib, hosil bo’lgan tenglikning o’ng va chap tomonlaridagi funksiyalar oldidagi ifodalarni har bir lar uchun tenglab, larga nisbatan algebrail tenglamalar sistemasini hosil qilamiz:

,

bu , .

Bu sistemani yechib, larni, va demak, (2) tenglamaning yechimi funksiyani hosil qilamiz.

Bu usulni uchun batafsil bayon qilamiz. Bu holda lar quyidagicha aniqlanadi:

(23)

Bu integrallardagi funksiya noma’lum bo’lgani sababli, va lar ham noma’lum sonlar bo’lib, ularni topish talab qilinadi. Shu maqsadda (23) ni (22) ga uchun qo’yamiz:

(24)

(24) ifoda yordamida (23) tengliklarning birinchisini o’zgartiramiz:

(25)

O’ng tomondagi aniq integrallar o’zgarmas sonlar bo’ladi va ularni quyidagicha belgilab olamiz:

U holda (25) tenglik

ko’rinishiga keladi. Bundagi noma’lum sonlarni o’z ichiga oluvchi hadlarni tenglik ishorasining bir tomoniga o’tkazsak,

uch noma’lumli chiziqli algebraic tenglama hosil bo’ladi.

Shunga o’xshash yana ikkita algebraik tenglamani keltirib chiqarish uchun (23 ) tenglamalarning ikkinchi va uchinchisiga murojaat qilamiz:

Bundagi integrallarni quyidagicha belgilaymiz:

U holda

yoki

hosil bo’ladi.

Xuddi shuningdek, (23) dan:

Buni ham yuqoridagilar kabi o’zgartirsak ushbu

natija hosil bo’ladi; bunda

Shunday qilib, biz larga nisbatan quyidagi chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini hosil qildik:

(26)

Bu sistemadagi lar va lar ma’lum sonlardir, chunki ularga mos integrallar ishorasi ostidagi funksiyalar masalada berilgan bo’ladi.

Endi (26) sistemani oliy algebradagi Kramer formulalari yordamida yechamiz:

(27)

Bu formulalarda

(28)

Ma’lumki, ni topish uchun (28) determinantda birinchi ustun elementlari o’rniga (26) dagi ozod hadlarni qo’yish kerak, va lar ham shu usulda topiladi. Shuni ham ta’kidlab o’tishimiz zarurki, (26) sistemadagi larning kamida bittasi noldan farqli bo’lganda, (28) determinantning noldan farqli bo’lishi shart.

Demak, parametrning D determinantni nolga aylantirmaydigan hamma qiymatlari uchun (24) ko’rinishdagi yadroli (2) Fredgol’m tenglamalarini shu usulda yechish mumkin ekan. Shubhasiz, bu masalada ishtirok etayotgan barcha integrallar mavjud deb faraz qilinadi.

Misol. Ushbu tenglama yechilsin:

Bu misoldagi parameter umumiy holda berilgan bo’lib, yadro yuqoridagi (21) ko’rinishda ifodalangan. Tenglamaning o’ng tomonidagi integralni ikkiga ajratib,

tenglikni hosil qilamiz.

So’ngra quyidagicha

kabi belgilashlar kiritamiz. U holda berilgan integral tenglama

ko’rinishida yoziladi. Noma’lum funksiyaning bu ifodasidan foydalanib, bilan ni hisoblaymiz:

yoki

Xuddi shuningdek,

yoki

Shunday qilib, quyidagi chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi hosil bo’ldi:

Bu sistemaning yechimini Kramer formulalariga asosan yozamiz:

Bu yerda

Demak,

Bularni izlanayotgan noma’lum funksiyaning yuqoridagi ifodasiga qo’yib, uni quyidagi ko’rinishda yozamiz:

Bu esa berilgan masalaning yechimidir. Yechim ifodasidagi kasrlarning maxraji nolga teng bo’lmasligi uchun parameter

Kvadrat tenglamaning ildizi bo’lmasligi shart, ya’ni Xususiy holda deb faraz qilsak, yechim quyidagicha yoziladi:

Misol. Ushbu tenglama yechilsin:

Ma’lumki,

va demak, tenglamani

ko’rinishda yozish mumkin; bunda

Bu integrallarda o’rniga uning yuqorida olingan ifodasini qo’yamiz:

Integrallarning qiymatlari

bo’lgani uchun birinchi tenglama

ko’rinishda yoziladi. Bu yerda

Xuddi shu usulda ni izlaymiz:

bo’lgani uchun

bu yerda

va demak,

Izlanayotgan yechim quyidagidan iborat:

Bu ifodadagi kasrlarning maxrajlari nolga aylanmasligi uchun bo’lishi kerak. Xususiy holda, agar deb olsak,

bo’lib, yechim uchun quyidagi ifoda hosil bo’ladi: