Matematik fizikaning ko’pgina masalalari noma`lum funksiya nisbatan

Matematik fizikaning ko’pgina masalalari noma`lum funksiya nisbatan

(1)

(2)

ko’rinishdagi integral tenglamalarga keltiriladi. Bu tenglamalarda - ozod had va tenglamaning yadrosi – berilgan funksiyalar, - (2) tenglamaning parametri, integrallash chegaralari va berilgan haqiqiy o`zgarmas sonlardir. (1) va (2) tenglamalar mos ravishda Fredgol’mning birinchi va ikkinchi turdagi integral tenglamalari deyiladi. (2) tenglamadagi no`malum funksiya integral ishorasidan tashqarida ham ishtirok etmoqda. Bu tenglamalardagi funksiya kesmada, yadro esa yopiq sohada berilgan va uzluksiz funksiyalar deb hisoblanadi.

Agar (2) integral tenglamada bo’lsa, unda u

(3)

ko’rinishda bo’lib, bu tenglama (2) tenglamaga mos bir jinsli ikkinchi turdagi

Fredgol’m integral tenglamasi deyiladi.

Nihoyat, ushbu

(4)

tenglamaga uchinchi tur integral tenglama deb ataladi. Agar kesmada bo`lsa, undan (1) tenglama; bo`lsa, undan (2) tenglama kelib chiqadi. Yuqorida biz tanishgan integral tenglamalarning barchasida noma`lum funksiya bir argumentlidir, ya`ni birgina erkli o`zgaruvchining funksiyasidir. Misol uchun quyidagi integral tenglamani olaylik:

Bunda

demak, bu tenglama Fredgol’mning ikkinchi tur tenglamalaridan ekan.

Ta’rif. Agar , funksiyani (1) yoki (2) integral tenglamaga olib qo’yganda bu tenglama ayniyatga aylansa, u holda bu funksiya shu mos tenglamaning yechimi deb aytiladi.

Misol: funksiya quyidagi integral tenglamaning yechimi ekanligini ko’rsating:

, bunda



Yechish: Tenglamaning chap tomonini yadroning ko’rinishini hisobga, o’zgartiramiz:

Hosil bo’lgan tenglamaga ni qo’yib,

ekanligiga ishonch hosil qilamiz. Demak, funksiyani berilgan integral tenglamaga qo’yganda ayniyat hosil bo’ldi. Bu esa funksiya tenglamaning yechimi ekanligini ko’rsatadi.

Endi ikkinchi turdagi Fredgol’m integral tenglamasini ketma – ket yaqinlashish usuli bilan echmiz. (2) tenglamada va funksiyalar o’zlari aniqlangan sohalarda uzluksiz bo’lgani uchun

(5)

bo’ladi.

Agar (2) tenglama parametri

(6)

shartni qanoatlantirsa, u holda bu tenglamaning yagona yechimi mavjud bo’lib, uni ketma-ket yaqinlashish usuli bilan topish mumkin.

Nolinchi yaqinlashish sifatida (2) tenglamaning ozod hadini qabul qilamiz

Birinchi yaqinlashishni

munosabat bilan aniqlaymiz. Bu jarayonni davom ettirib n-yaqinlashishni

(7)

formula bilan aniqlaymiz.

Shunday qilib, (7) rekkurent munosabatlarni qanoatlantiruvchi

(8)

funksiyalar ketma-ketligiga ega bo’lamiz.

Matematik analizdan ma’lumki, (9) ketma-ketlikning yaqinlashishi

(9)

qatorning yaqinlashishiga teng kuchlidir. (7) formulani

(10)

ko’rinishida yozib olamiz.

(6) ga asosan, (10) dan darhol quyidagi tengsizliklar kelib chiqadi:

Shunday qilib, (9) qatorning har bir hadi musbat sonli

(11)

qatorning mos hadidan katta emas. (11) qator esa, (6) ga asosan yaqinlashuvchidir. Demak, (9) qator, natijada uzluksiz funksiyalarning (8) ketma-ketligi uzluksiz funksiyaga absolyut va tekis yaqinlashadi. (7) tenglikda limitga o’tib,

tenglikni hosil qilamiz, bu esa funksiya (2) tenglamaning yechimi ekanligini ko’rsatadi. Endi (2) tenglamaning dan boshqa yechimi yo`qligini ko’rsatish qiyin emas. Buning uchun aksincha, ya’ni (2) tenglamaning dan boshqa yana bitta yechimi bor deb faraz qilamiz. U holda bu yechimlarning ayirmasi (3) bir jinsli tenglamaning yechimidan iborat bo`ladi, ya`ni

deb belgilab olsak, oxirgi tenglikdan

tengsizlikka ega bo’lamiz. Agar bo’lsa, oxirgi tengsizlik (7) tengsizlikka ziddir. Demak, , bundan , ya’ni ekanligi kelib chiqadi.