Matematik analiz va differensial tenglamalar


Metrik fazoda kompakt to’plamlar



Download 3,47 Mb.
bet7/13
Sana01.07.2022
Hajmi3,47 Mb.
#728448
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   ...   13
Bog'liq
METRIK FAZOLAR tayyor

2.2. Metrik fazoda kompakt to’plamlar
To’g’ri chiziqning ajoyib xossalaridan biri shuki, undagi chegaralangan har qanday cheksiz to’plam kamida bitta limit nuqtaga ega. Bu fakt Bolsano — Veyershtrass teoremasida o‘z ifodasinn topgan. Lekin ixtiyoriy metrik fazoda bunday sodda natija, umuman aytganda, o’rinli emas. Shuning uchuy quyidagi savolning qo’yilishi tabiiy. Metrik fazoda qanday to’plamlar sinfi uchun Bolsano — Veyershtrass teoremasining mazmuni saqlanadi? Mana shu savol munosabati bilan quyidagi muhim ta’rifni kiritamiz.
Ta’rif. X metrik fazodagi M to’plamning yechim elementlaridan tuzilgan ixtiyoriy ketma-ketlikdan biror x(∈X) elementga yaqinlashuvchi qism ketma-ketlikni ajratib olish mumkin bo‘lsa, M to’plam X da nisbiy kompakt deyiladi; yopik nisbiy kompakt to’plam kom­pakt deyiladi.
Bolsano — Veyershtrass teoremasiga asosan to’gri chiziqda har qanday chegaralangan (yopik va chegaralan­gan) to’plam nisbiy kompaktdir.
Ravshanki, nisbiy kompakt to’plamning ixtiyoriy qism to’plami yana nisbiy kompakt to’plamdir.
1 - teorema. Nisbiy, kompakt to’plam chegara­langan bo‘ladi.
Isbot. A( X) nisbiy kompakt to’plam bo‘lib, chegaralangan bo’lmasin deb faraz kilamiz. A dan ix­tiyoriy x1 nuqtani olib, radiusi r1 = 1 ga teng S(x1, r1) sharni ko’ramiz. A chegaralanmaganligi uchun u bu sharda to’lasicha joylashgan bo’lmaydi. A to’plamning S(x1, r1) sharga kirmagan biror x2 elementinn olamiz. U holda  . So’ng radiusi r2 =  (x1, x2) + 1 ga teng S(x1,r2) sharni ko’rib, A to’plamning bu sharga kirmagan biror x3 elementini olamiz; bunday element mavjud, chunki A chegaralanmagan to’plam va  . So’ngra radiusi r3 =  +1 ga teng S(x1, r3) sharni ko’ramiz. Bu protsessii, A to’plam chegaralan­maganligi uchun, cheksiz davom ettirishimiz mumkin. Natijada {xn} (xp ∈ A) ketma-ketlik va o’sib boruvchi {rn} sonli ketma-ketlik hosil bo‘lib, ushbu

tengeizliklar bajariladi.
Endi ixtiyoriy   natural sonlar uchun

munosabatlar o’rinli. Bulardan quyidagi

tengeizliklarga asosan ushbu

munosabat kelib chiqadi.
So’nggi munosabat ko’rsatadiki, {xp} ketma-ket-likning o‘zi va na uning biror qismi fundamental bo’la olmaydi, demak, yaqinlashuvchi ham bo’lishi mumkin emas. Bu esa ziddiyatga olib keladi, chunki {xp} ketma-ketlikning elementlari A nisbiy kompakt to’plamdan olingan.
Bu teoremaning teskarisi, umuman aytganda, o’rinli emas, ya’ni to’plam chegaralangan bo‘lsa, u nisbiy kom­pakt bo’lishi shart emas. Bunga l2 fazodan konkret misol keltiramiz. l2 fazodan ushbu  
  elementlardan iborat chegaralangan to’plamni tuzamiz. Bu elementlarning ixtiyoriy ikkitasi orasidagi masofa   ga teng. Shuning uchun bu ketma-ketlik va uning hech qanday qismi yaqinlashuvchi bo’lmaydi, demak, tuzilgan to’plam nisbiy kompakt emas.
Metrik fazoda nisbiy kompaktlik tushunchasiga yaqin bo’lgan tushunchani kiritamiz.
Ta’rif. A, V lar (X,  ) metrik fazodan olingan to’plamlar va   > 0 biror son bo’lsin. Agar A dan olingan ixtiyoriy x element uchun V da ushbu   tengeizlikni qanoatlantiradigan u element mavjud bo‘lsa, V to’plam A to’plamga nisbatan  tur deyila­di. Agar ixtiyoriy  >0 uchun A to’plam chekli turga ega bo‘lsa, u holda A to’la chegaralangan deyiladi.

Download 3,47 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   ...   13




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish