Matematik analiz va differensial tenglamalar

Kifoyaligi. F sistema tekis chegaralangan va te­kis darajada uzluksiz bo’lsin. Agar ixtiyoriy _{ } uchun o’nga nisbatan S [a,b] da chekli _{ }-tur mavjud bo‘lsa, bu sistemaning S [a,b] fazoda nisbiy kompaktligi ko’rsatilgan bo‘ladi.
K va quyidagi munosabatlarni qanoatlantiradigan sonlar bo’lsin: _{ } (hamma _{ } F uchun); agar _{ } bo‘lsa, _{ } (hamma φ∈ F uchun).
Endi [a, b] segmentni

nuqtalar bilan har birining uzunligi dan kichik bo’lgan p ta qismga bo‘lib, bu nuqtalarning har biridan vertikal to’gri chizik o’tkazamiz. Ordinatalar o’qida [-K, K] segmentni nuqtalar bilan har birining uzunligi _{ } dan kichik m ta qismga bo‘lib, bu nuqtalarning har birida gorizontal to’gri chiziklarni o’tkazamiz. Natijada ushbu _{ } to’gri to’rtburchak qismlarga bo’linib, bu qismlarning gorizontal tomonlari va verti­kal tomonlari _{ } dan kichik bo‘ladi, ya’ni to’gri to’rtburchakda tur to‘zildi. Endi har bir _{ } funksiyaga uchlari _{ } nuqtada joylashgan _{ } siniq funksiyani mos qo’yamiz (agar funkdiyaning grafigi tutashgan kesmalardan iborat bo‘lsa, bu funksiyani sinik deymiz). Tuzilgan turining uchlarida to‘zilishiga ko’ra

tengsizlik bajariladi. Bu tengsizlik va

tengsizliklardan

tengsizlik kelib chiqadi.
_{ } segmentda _{ }(t) chizikli funksiya bo’lganligi uchun

tengsizlik t ning _{ } segmentdagi hamma qiymatlari uchun bajariladi.
Endi [a, b] segmentning ixtiyoriy t nuqtasini olib, chapdan o’nga eng yaqin turgan t_k nuqtani olamiz (bu bo’lish nuqtasi). U holda,

tengsizlik o’rinlidir. Demak, soni chekli _{ }(t) sinik funksiyalar F sistemaga nisbatan chekli turni tashkil etadi, ya’ni F sistema to’la chegaralangan sistemadir.
Endi metrik fazodagi funksionallarning kompaktlik bilan borlik, bo’lgan xossalarini keltiramiz.
Quyidagi teorema matematik analizdan ma’lum bo’lgan Veyershtrass teoremasining umumlashtirilishidir.