Matematik analiz va differensial tenglamalar

5- teorema. X metrik fazoda f uzluksiz funksio­nal bo’lsin. Ixtiyoriy D⊂X kompakt to’plamda f chegaralangan va o‘zining eng katta va eng kichik qiymatlarini kabul kiladi.
Isbot. f funksional D to’plamda quyidan chegaralanganligini va o‘zining eng kichik qiymatini kabul qilishini isbotlash bilan chegaralanamiz.
Agar f quyidan chegaralanmagan deb faraz qilsak, u holda ixtiyoriy p natural son uchun f(x_n)<–n shartni qanoatlantiradigan x_p∈D nuqta topiladi. De­mak, _{ }. Xosil bo’lgan (x_p) ketma-ketlikdan D kompakt bo’lgani tufayli biron x₀∈D nuqtaga yaqinlashuvchi {x_p} qism ketma-ketlik ajratish mumkin. f uzluksiz bo’lgani uchun _{ }. Shu bilan
birga _{ }. Bu esa _{ } chekli son ekanligiga zid. Demak, f(x) funksional D to’plamda quyi­dan chegaralangan.
Endi m bilan ushbu f(D) = _{ } to’plamning aniq quyi chegarasini belgilaymiz va f(x₀) = m shartni qanoatlantiruvchi x₀ D nuqta mavjudligini isbotlaymiz. Ixtiyoriy p natural son uchun _{ } son f(D) to’plamning quyi chegarasi bo’lmaydi, ya’ni _{ } shartni qanoatlan-tiruvchi _{ }D nuqta mavjud. Bu {x_p} ketma-ketlikdan yaqinlashuvchi _{ } qism ketma-ketlik ajratib olishimiz mumkin. Endi ushbu

tengeizlikda limitga utsak,

tenglik xosil bo‘ladi. f uzluksiz bo’lgani sababli

Ko’rinib turibdiki, bu teoremaking isboti matematik analizdagi Veyershtrass teoremasining isbotiga o’xshaydi. Uzluksiz funksiyalarning ba’zi bir xossalari ham shunga o’xshash osonlikcha metrik fazolardagi funksionallar uchun isbotlanadi. Misol uchun Kantor teoremasini keltiramiz.
Ta’rif. (X, ρ) metrik fazoda f funksional berilgan bo’lsin. Agar ixtiyoriy _{ }>0 uchun shunday >0 topilsaki,

shartni qanoatlantiruvchi har qanday _{ } uchun ushbu

tengsizlik bajarilsa, f(x) funksional tyokis uzluk­siz deyiladi.