Matematik analiz va differensial tenglamalar

1-teorema. (X, _{ }) to’la metrik fazoda _{ } yopik sharlar ketma-ketligi berilgan bo‘lib, bular uchun quyidagi shartlar bajarilsin:

U holda bu sharlarning umumiy qismi birgina nuqtadan iborat bo‘ladi.
Isbot. _{ } sharlarning markazlaridan iborat bo’lgan quyidagi ketma-ketlikni tuzamiz:
_{ } (2.1.5)
Teorema shartiga ko’ra a_p+r ∈ _{ } (r = 1, 2, . . .). SHu­ning uchun

Demak, (5) ketma-ketlik fundamental. X to’la fazo bo’lganligi uchun bu ketma-ketlik biror a ∈ X elementga yaqinlashuvchi bo‘ladi.
So’ngra, ixtiyoriy _{ m} yopik sharni olamiz (m —tayin natural son); u holda a ∈ _{ m}, chunki _{ } nuqtalar ketma-ketligi (5) ning qism ketma-ketligi bo’lgani uchun a ga yaqinlashuvchi, bu ketma-ketlikning har bir elementi _{ m} ga kiradi va _{ m} yopiq bo’lganligi uchun

Demak,

Endi _{ }ga a nuqtadan boshqa yana biror b element ham tegishli bo’lsin deb faraz kilamiz. U holda, bir tomondan, har qanday p uchun

munosabat o’rinli, ikkinchi tomondan, _{ } da _{ } bo’lgani uchun
_{ }, ya’ni a = b.
2-teorema. Agar (X,_{ }) metrik fazoda 1-teoremaning shartlarini qanoatlantiradigan har qanday yopik sharlar ketma-ketligi bo’sh bo’lmagan u u­miy, qismga ega bo‘lsa, u holda X fazo to’la bo‘ladi.
Isbot. {x_p} fundamental ketma-ketlikni olib, n_k natural sonni shunday tanlab olamizki, ixtiyoriy r na­tural son uchun quyidagi tengeizlik o’rinli bo’lsin:

Ushbu _{ } sharlarni ko’ramiz. Agar x ∈ _{ }bo‘lsa, u holda

ya’ni x ∈ _{ }. Demak, _{ }. Teorema shartiga ko’ra bu yopik sharlar ularning hammasiga tegishli x₀ elementga ega. Agar {x_p} ketma-ketlikning x₀ ga yaqinlashishi ko’rsatilsa, iboramiz isbot etilgan bo‘ladi. {x_p} qism ketma-ketlik x₀ ga yaqinlashadi, chunki

u holda butun {x_p} ketma-ketlik ham x₀ ga yaqinlashadi, chunki ushbu

tengsizlikning o’ng tomoni p va n_k yetarli katta bo’lganda istalgancha kichik kilinishi mumkin.
To’la metrik fazolar nazariyasida quyidagi teorema katta ahamiyatga ega.
3-teorema (Ber teoremasi). (X,_{ }) to’la metrik fazoni hadlarining soni sanokli va hech qayerda zich bo’lmagan to’plamlarning yig’indisi ko’rinishida ifodalab bo’lmaydi.