Matematik analiz va differensial tenglamalar

N a t i j a. X to’la metrik fazodati A to’plam kom­pakt bo’lishi uchun uning yopik va to’la chegaralangan bo’lishi zarur va kifoya.
2- teoremada zarur va kifoya shart berilgan bo‘lsada, undan konkret metrik fazolarda foydalanish oson emas. Maxsus metrik fazolarda joylashgan to’plamlarning nisbiy kompaktligini aniqlash uchun odatda maxsus kompaktlik belgilari izlanadi.
Biz bu masalani S [a, b] fazo uchun o’rganamiz.
S [a, b] fazoda nisbiy kompaktlik belgisi quyidagicha bo‘ladi. Bu belgini ifoda kilish uchun quyidagi ikkk tushunchani keltiramiz.
[a, b] segmentda aniqlangan biror {γ(t)} = F funksiyalar sistemasi berilgan bo’lsin. Agar t ning hamma qiymatlari va F sistemaning hamma elementlari uchun

tengeizlikni qanoatlantiradigan K son mavjud bo‘lsa, _{ } funksiyalar sistemasi tekis chegaralangan deyiladi. Agar ixtiyoriy _{ }>0 uchun shunday >0 son mavjud bo‘lsaki,

tengeizlik bajarilganda F sistemata tegishli ixtiyoriy γ(t) funksiya uchun

bo‘lsa, F sistema tekis darajada uzluksiz deyi­ladi.
4-teorema (Arsela teoremasi). [a, b] seg­mentda aniqlangan uzluksiz funksiyalardan iborat F to’plam S [a,b] fazoda nisbiy kompakt bo’lishi uchun bu funksiyalar sistemasining tekis chegaralan­gan hamda tekis darajada uzluksiz bo’lishi zarur va kifoya.
Isbot. Zarurligi. F to’plam S [a, b] fazoda nisbiy kompakt bo’lsin. U holda 2- teoremaga muvofik, ixtiyoriy _{ } >0 uchun F da chekli _{ }-turni tashkil etuvchi

funksiyalar mavjud bo‘ladi. Bu funksiyalarning har biri [a, b] da uzluksiz bo’lganligi sabadli chegaralangandir, ya’ni

CHekli _{ } turning ta’rifiga ko’ra F dan olingan har qanday _{ } tengsizlik uchun (3) dagi son chekli funksiyalar orasida shunday _{ } funksiya topiladiki, uning uchun

tengsizlik o’rinli. Natijada

ya’ni F sistema tekis chegaralangan. So’ngra (3) ketma-ketlikdagi chekli turni tashkil etuvchi funksiyalarning xap biri uzluksizva ularning soni chekli, demak ular [a,b] da tekis uzluksiz; demak, berilgan _{ } uchun shunday _{ } - son mavjudki, buning uchun quyidagilarni yozishimiz mumkin: aga _{ } bo‘lsa,
_{ }
Aga _{ } bo‘lsa, _{ } u holda, ixtiyorny _{ } ∈ F uchun _{ } ning (3) funksiyalar orasidar _{ } tengsizlikni qanoatlantiradiganini olib, ushbu munosabatni yoza olamiz:


Shuning bilan F sistemaning tekis darajada uzluksizligi ko’rsatildi, ya’ni teoremaning zarurlik qismi isbot etildi,