Matematik analiz fanidan

Juft funksiyaning Furye integrali.
Agar f(x) funksiya da juft bo’lsa,u holda istalgan h uchun
(2.3.9)

bo’ladi. Bundan istalgan uchun
(2.3.10)
bo’ladi. Agar x nuqta f(x) ning uzluksizlik nuqtasi bo’lsa, u holda ushbu
(2.3.11)
formulaga ega bo’lamiz.
M i s o l. Ushbu funksiyaning Furye integrali topilsin.
Bu funksiya juft bo’lgani uchun (2.3.9) ga asosan

bo’ladi. Ushbu

Formulaga ko’ra

Va

bo’lib,

integral hosil bo’ladi.
Toq funksiyaning Furye integrtali.
Agar f(x) funksiya da toq funksiya bo’lsa,u holda istalgan x uchun
, (2.3.12)

bo’ladi.
va larning qiymatlari ixtiyoriy uchun
(2.3.13)
formula hosil bo’ladi. Bundan f(x) ning uzluksizlik nuqtalari uchun
o (2.3.14)
munosabat kelib chiqadi.
M i s o l. Ushbu

funksiyaning Furye integrali yozilsin.
Y e c h i l i s h i. Bu funksiya toq bo’lgani uchun


Endi ni (2.3.14) ga qo’ysak, istalgan x uchun

bo’ladi.
2.4 Fure qaorining o’rtacha yaqinlashishi.
Funksional ketma-ketlik va qatorlarda tekis yaqinlashish tushunchasi bilan bir
qatorda, undan umumiyroq o’rtacha yaqinlashish tushunchasi ham kiritiladi. 1.O’rtacha yaqinlashish. oraliqda biror:

funksional ketma-ketlik va funksiya berilgan bo’lib, hamda
lar shu oraliqda kvadrati bilan itegrallanuvchi bo’lsin.
1-ta’rif. Agar

bo’lsa, (2.4.1) funksional ketma-ketlik funksiyaga da o’rtacha yaqinlashadi deb aytiladi.
1-teorema. Agar (2.4.1) funksional ketma-ketlik ga da tekis yaqinlashsa, shu (2.4.1) ketma-ketlik ga da o’rtacha yaqinlashadi.
Isbot. (2.4.1) ketma-ketlik tekis yaqinlashsin.
Ta’rifga binoan, olinganda ham shunday topiladiki, va
uchun bir yo’la

bo’ladi. Demak, uchun

bo’ladi. Bu esa

ekanini bildiradi. Demak, ketma-ketlik funksiyaga da o’rtacha
yaqinlashadi.
1-eslatma. Funksional ketma-ketlikning da o’rtacha yaqinlashishidan, uning shu oraliqda tekis yaqinlashishi har doim kelib chiqavermaydi. Masalan, yuqorida ko’rdikki ketma-ketlik

Funksiyaga da o’rtacha yaqinlashadi. Biroq bu funksional ketma-ketlik shu funksiyaga da tekis yaqinlashmaydi.
Yuqorida keltirilgan teorema va eslatma funksional ketma-ketliklarda o’rtacha yaqinlashish tekis yaqinlashish tushunchasiga qaraganda kengroq tushuncha ekanini ko’rsatadi.
Funksional qatorlarda ham o’rtacha yaqinlashish tushunchasi shunga o’xshash kiritiladi.
oraliqda

funksional qator berilgan bo’lsin. Bu qator qismiy yig’indilari

dan iborat funksional ketma-ketlikni qaraylik.
2-ta’rif. Agar

bo’lsa, (2.4.2) funksional qator funksiyaga da o’rtacha yaqinlashadi deb ataladi.