Matematik analiz fanidan

Yechish. Juft funksiya (-π, π) intervalda Dirixle shartlarini qanoatlantiradi (3-shak1).

3 – shakl.

, ,
2.2 Furye integrali to’g’risida ma’lumotlar.
[-l,l] kesmada aniqlangan f(x) funksiya Dirixle teoramasi shartlarini qanoatlantirsa u holda
(2.3.1)
ko’rinishdagi Fur’e qatori vositasida har tomonlama o’rganish mumkinligini
ko’rgan edik. (2.3.1) qator koeffisientlari

va
n = 1,2,... (2.3.2)
formulalar bilan hisoblanadi. Dirixle teoremasiga asosan (2.3.1) qatorning yig’indisi (-l,l) ga tegishli istalgan x uchun ushbu
(2.3.3)
tenglikni qanoatlantiradi.
Soddalik uchun dastavval f(x) ni (-l,l) da Dirixle teoremasi shartlarini qanoatlantiruvchi uzluksiz funksiya deb faraz qilamiz. U holda (2.3.3) tenglikning
o’ng tomoni istalgan -luchun f(x) ga t eng bo’ladi, ya’ni istalganda katta
chekli (-l,l) dagi o’zgarish qonuniyatini uning mos Furye qatori vositasida to’liq
o’rgana olamiz. Ammo l chekli ortga borib, ga intilsa ,masala ancha
murakkablashadi va ushbu

Furye qatori (-l,l) dagi xosmas Furye integrali deb ataluvchi integraldan iborat
bo’ladi.
Darhaqiqat, agar (2.3.1) da koeffisientlar o’rniga ularning (2.3.2) dagi
ifodalarini qo’ysak, istalgan uchun
(2.3.4)
tenglik o’rinli bo’ladi.
Agar f(x) funksiya da absolyut integrallanuvchi, ya’ni
(2.3.5)
bo’lsa, u holda da
(2.3.6)
bunda k = 1,2 desak, bo’lib, istalgan k uchun bo’ladi va ushbu
(2.3.7)
tenglikni hosil qilamiz. Agar (2.3.7) da

deb olsak, (2.3.7) tenglikning o’ng tomonidagi limit belgisi ostidagi cheksiz yig’indisi F(t,x) ning t ga nisbatan Riman integral yig’indisi bo’ladi. Shuning uchun l ning juda katta qiymatlarida so’nggi tenglikning chap tomonidagi integral absolyut yaqinlashuvchi bo’lganidan foydalanib uni ushbu

integral bilan almashtirsak, u holda

bo’ladi, dagi limitini ushbu

integral uchun Riman ma’nosidagi xosmas integral deb olamiz,u holda
(2.3.8)
tenglikni hosil qilamiz. Bu tenglikning o’ng tomonidagi integral Furye integrali
bo’lib, (2.3.8) esa f(x) ning Furye integrali vositasidagi ifodasi deyiladi.