Matematik analiz fanidan

2.2 Juft va toq funksiyalarning Furye qatorlari.
Juft va toq funksiyalarning Furye qatorlari birmuncha sodda ko’rinishga ega
bo’ladi, ya’ni f(x) funksiya da berilgan juft funksiya bo’lsin. U shu
oraliqda integrallanuvchi bo’lsin. U holda f(x)cosnx juft funksiya, f(x)sinnx
(n=1,2,…) esa toq funksiya bo’ladi va ular da integrallanuvchi bo’ladi.
(2.1.2) formulalardan foydalanib, f(x) funksiyaning Furye koeffisientlarini
topamiz:

,


Demak, juft f(x) funksiyaning Furye koeffisientlari
, (2.2.1)
bo’lib, Furye qatori esa

bo’ladi.
Endi f(x) funksiya da berilgan toq funksiya bo’lsin va u shu
oraliqda integrallanuvchi bo’lsin. Bu holda toq funksiya,
(n=1,2,…) esa juft funksiya bo’ladi. (1.2) formulalardan foydalanib, f(x)
funksiyaning Furye koeffisientlarini topamiz:

,


Demak, toq f(x) funksiyaning Furye koeffisientlari
(2.2.2)

bo’lib, Furye qatori esa

bo’ladi.

Toq va juft funksiyalarni Furye qatoriga yoyish.

Bizga davri T = 2π bo'lgan funksiya berilgan bo’lsin ya’ni Berilgan funksiyaning Furye qatori va koeffitsiyentlari quyidagicha edi:




Quyida biz juft va toq funksiyalarning Furye qatori koeffitsientlarini hisoblash formulalarini keltirib chiqaramiz.
Agar f (x) funksiya [–a; a] da integrallanuvchi bo`lsa, u holda

Ikkinchi integralda x ni -x ga almashtirish bajarib, quyidagi formulaga qo`yamiz:

,



f(x) funksiya toq bo’lsa,

bo’ladi.