Матемагия

Модульные суммы

Если я не уверен на счёт своего ответа, то иногда проверяю решение, используя метод, который я называю модульные суммы (потому что он основан на элегантной математике из раздела модульной арифметики). Этот метод также известен под именами «цифровые корни» и «метод сравнений по модулю 9». Я признаю, что он не такой уж практичный, но зато лёгок в использовании.%
С методом модульных сумм вы складываете цифры каждого из чисел до тох пор, пока не останетесь с одной единственной цифрой. Например, чтобы вычислить модульную сумму 4328, сложите 4 + 3 + 2 + 8 = 17. Затем сложите цифры числа 17, чтобы получить 1 + 7 = 8. Следовательно, модульная сумма 4328 будет 8. Для предыдущей задачки модульная сумма каждого из чисел вычисляется следующим образом:%

Как проиллюстрировано выше, следующий шаг - сложение всех модульных сумм вместе (8 + 2 + 8 + 1 + 5 + 5). Это даёт 29, что в сумме 11, что в свою очередь в сумме 2. Обратите внимание, что модульная сумма 8651, ваш набор цифр исходного числа, тоже равняется 2. Это не совпадение! Если вы посчитали ответ и модульную сумму правильно, то ваша итоговая модульная сумма должна быть такой же. Если они различаются, то вы определённо допустили где-то ошибку: существует шанс (около 1 к 9), совпадение модульных сумм будет случайным. Если существует ошибка, тогда этот метод позволит обнаружить её 8 раз из 9. %
Метод модульных сумм в большинстве случаев известен математикам и бухгалтерам больше как «метод сравнений по модулю 9», потому что модульная сумма числа обыкновенно равняется остатку, полученному в результате деления на 9. В случае, когда ответ выше (8651), модульная сумма была 2. Если вы разделите 8651 на 9, ответ будет 961 с остатком 2. Другими словами, если вы будете отбрасывать 9 из 8651 в общей сумме 961 раз, то будете иметь остаток 2. Существует одно маленькое исключение. Напомним, что сумма цифр любого кратного 9 также является кратной 9. Отсюда, если число является кратным 9, оно будет иметь модульную сумму 9, даже если остаток равен 0. %