Матемагия

Умножение на бумаге

Для умножения с ручкой и бумагой я использую метод «крестнакрест», который позволяет мне записать весь ответ целиком в одну строчку, нигде не записывая промежуточные результаты! Это одна из самых впечатляющих демонстраций матемагии, когда в вашем распоряжении есть ручка с бумагой. Многие молниеносные вычислители из прошлого заработали себе репутацию этим методом. Они получали два громадных числа и записывали ответ почти мгновенно. Методу «крест-накрест» лучше всего обучаться на примере.%
%
%
%
%
Шаг 1. Сначала умножьте 4 х 7 для получения 28, запишите 8 и мысленно перенесите 2 на следующее вычисление ниже.%
%
%
%
%
Шаг 2. Следуя схеме, сложите 2 + (4 х 4) + (3 х 7) = 39, запишите
9 и мысленное перенесите 3 на итоговую калькуляцию ниже.%
%
%
%
%
%
Шаг 3. Закончите сложением 3 + (3 х 4) = 15 и запишите 15 для получения итогового ответа. %
%
%
%
%
Вы только что записали ответ: 1598.%
Давайте решим другую задачу «2-на-2», используя метод «крестнакрест»:%
%
%
%
%
Список шагов и схемы выглядят следующим образом:%

ШАГ 1
ШАГ 2
ШАГ 3

Ответ: 5395%
Метод «крест-накрест» становится немного сложнее с задачами типа «3-на-3».%
%
%
%
%
Мы поступили так, как предложено в нашей собственной модели ниже:%

ШАГ 1
ШАГ 2
ШАГ 3
ШАГ 4
ШАГ 5

Ответ: 649 986%
Обратите внимание, что количество умножений на каждой стадии составляет 1, 2, 3, 2 и 1 соответственно. Математика, лежащая в основе метода «крест-накрест», не более чем распределительный закон. Например, 853 х 762 = (800 + 50 + 3) х (700 + 60 + 2) = (3 х 2) + [(5 х 2) + (3 х 6)] х 10 + [(8 х 2) + (5 х 6) + (3 х 7)] х 100 + [(8 х 6) + (5 х 7)] х 1000 + (8 х 7) х 10 000, что в точности является вычислением по методу «крест-накрест».%
Вы можете проверить свой ответ с помощью модульной суммы путём перемножения модульных сумм двух чисел и расчёту модульной суммы получившегося в итоге числа. Сравните это число с модульной суммой ответа. Если он правильный, то они должны совпадать.
Например: %
%
%
%
%
%
%
%
Если модульные суммы не совпадают, то вы допустили ошибку. Данный метод распознаёт ошибку, в среднем, 8 раз из 9.%
В случае с примером «3-на-2», процедура такая же, за исключением того, что вы рассматриваете цифры-сотни второго числа как нули:%
%
%
%
%
%
%
%
%

ШАГ 1
ШАГ 2
ШАГ 3
ШАГ 4
ШАГ 5

Ответ: 31 302%
Конечно на практике, вы, как правило, просто проигнорируете умножение на нуль. Вы можете использовать метод «крест-накрест» для решения задачек любого размера. Для получения ответа на задачу «5-на-5», которая находится ниже, потребуется девять шагов. Количество умножений на кождом из них будет 1, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 2, 1 (25 в сумме).%
%
%
%

ШАГ 1
ШАГ 2
ШАГ 3
ШАГ 4
ШАГ 5
ШАГ 6

%

ШАГ 7
ШАГ 8
ШАГ 9

%
Ответ: 2 231 184 483%
%
Вы можете проверить себя, используя метод модульных сумм.%

%
%
%
%

Метод сравнений по модулю одиннадцати

Чтобы перепроверить свой ответ другим способом, вы можете использовать метод, известный как сравнение по модулю одиннадцати. Это сродни сравнению по модулю девяти, за исключением того, что здесь вы сокращаете число, поочередно вычитая и прибавляя цифры слева направо, игнорируя любые значения после запятой. Если результат отрицательный, просто прибавьте к нему одиннадцать. (это может быть заманчивым, складывать и вычитать слева направо, как вы и делали с модульными суммами, но в данном случае вы должны это делать справа налево для того, чтобы метод сработал)%
Например:%

Такой же метод работает и для примеров на вычитание: %

%
%
%
%
%
Шакунтала Деви: это не поддаётся расчёту!

В 1976 году «Нью-Йорк Таймс» сообщила, что индийская женщина по имени Шакунтала Деви (р.1939) сложила 25 842 + 111 201 721 + 370 247 830 + 55 511 315, а затем умножила эту сумму на 9878, дабы получить правильный итог в размере 5 559 369 456 432 - всё это менее чем за двадцать секунд. Трудно верится, однако, это необразованная дочь обедневших родителей сделала себе имя в Соединенных Штатах и Европе в качестве молниеносного вычислителя. К сожалению, большинство по-настоящему удивительных подвигов Деви, которые были выполнены не благодаря очевидным «тонкостям профессии», скудно документированы. Её величайшее заявленное достижение - умножение на время двух тринадцатизначных чисел на бумаге - появилось в Книге Рекордов Гиннесса как пример «Человека-компьютера». Время расчёта однако, в лучшем случае, вызывает сомнения. Деви, мастер метода «крест-накрест», умножила 7 686 369 774 870 х 2 465 099 745 799 - цифры, как сообщается, случайно сгенерированные в компьютерном отделе Имперского колледжа в Лондоне, 18 июня 1980 года. Её правильный ответ в размере 18 947 668 177 995 426 773 730 был, якобы, воспроизведён за невероятные двадцать секунд. Гиннесс предлагает следующую оговорку: «Некоторые видные математические писатели ставят под сомнение условия, при которых это было несомненно достигнуто и предсказывают, что это было бы невозможно для неё, повторить такой подвиг под чрезвычайно строгим наблюдением.» Так как она должна была решить 169 задач на умножение и 167 на сложение, в общей сложности 336 операций, то она должна была бы производить каждый расчет в пределах десятой секунды, без ошибок, затрачивая время на то, чтобы записать все 26 цифр ответа. Время реакции само по себе возводит этот рекорд в категорию «это не поддаётся расчёту!» Несмотря на это, Дэви подтвердила свои способности путём совершения быстрых расчётов и даже написала свою собственную

книгу на эту тему .

,
%
%
Это работает даже для примеров на умножение:%

%
Если цисла не согласуются, то вы где-то допустили ошибку. Но если они совпадают, существование ощибки всё ещё возможно. В среднем, этот метод распознаёт ошибку 10 раз из 11. Значит ошибка имеет шанс 1 к 11 пробраться сквозь караул одиннадцати, шанс 1 к 9 пробраться сквозь караул девяток и только 1 к 99 быть незамеченной при использовании обоих типов проверки. За большей информацией на счёт этого и других очаровательных матемагических топиков я бы хотел призвать вас обратиться к любой из книг Мартина Гарднера по «занимательной математике».%
Теперь вы готовы для завершающей «ручко-бумажной» задачи на умножение в этой книге: 10-на-10! В этом отсутствует какая-либо практическая ценность вообще, кроме того, чтобы покрасоваться! (И лично я думаю, что умножение пятизначных чисел уже итак достаточно впечатляюще, с тех пор как ответы на такие задачи перешли в сферу ответственности большинства калькуляторов) Мы представили его здесь просто для того, чтобы доказать: это можно сделать. Пересечения следуют тем же базовым моделям как и при решении задачи «5-на-5». Будет девятнадцать действий с расчётам и на десятом шаге будет 10 пересечений! Поехали:%
%
%
%
%
Вот как мы это сделали:%

%
%
%

Если вы сумеете договориться с этой невероятно тяжёлой задачкой с первого раза, то окажетесь на грани переода из подмастерья в мастера матемагии!%