Maruza mashg’ulotlari

Differensial hisob usullarga qo‘yiladigan talablar. Matematik modeldagi tenglamalarni har xil sonli usullar bilan yechish mumkin. Lekin hamma usullar ham kerakli aniqlikdagi yechimni beravermaydi. Ayniqsa masala hozirgi zamon kompyuterlarida yechilganda hisoblash algoritmi turli, o‘ziga xos shartlarni bajarishi kerak. Sonli usullarga qo‘yiladigan talablar ikki guruhga bo‘linadi. Birinchi guruhga sonli usullar qo‘llanishi natijasida hosil qilingan diskret(uzuq-uzuq) masalaning matematik modeldagi dastlabki masalaga mos kelish shartlari kiradi. Sonli usullarning yaqinlashishi, diskret masalalarda saqlanish qonunlarining bajarilishi, turg‘unlik, korrektlik kabi talablar birinchi guruhga kiradi. Shulardan ayrimlarini qarab o‘tamiz.
Matematik modeldagi parametrlarning dastlabki qiymatlaridagi xatolikni bartaraf etish mumkin bo‘lmagan xatolik ekanligini yuqorida ko‘rsatgan edik. Bu xatolikni masala yechimiga ko‘rsatadigan ta’sir darajasini bilish katta ahamiyatga ega. Sonli usullarning bunday sezuvchanligini (ta’sirchanligini) turg‘unlik degan tushuncha yordamida tekshirish mumkin.
Agar quyidagi shartlar bajarilsa, masala korrekt qo‘yilgan deyiladi: 1) masalada yechim mavjud; 2) yechim yagona; 3) turg‘un.
Ko‘rsatilgan shartlardan birortasi bajarilmasa, masala korrekt qo‘yilmagan deyiladi. Bunday masalalarga sonli usullarni qo‘llash foydasizdir, chunki bunda yetarli darajadagi shartlarni qanoatlantiruvchi sifatli yechimni olish imkoniyati yo‘qdir. Shuni ham aytish kerakki, ayrim korrekt qo‘yilmagan masalalarni yechish usullari ham yaratilgan. Bu usullar dastlabki qo‘yilgan masalani yechishga asoslangandir. Yordamchi masalada qo‘shimcha  parametr qatnashadi. Shunday yo‘l bilan dastlabki masala regulyarlashtiriladi. Agar 0 bo‘lsa, yordamchi masalaning yechimi dastlabki masalaning yechimiga intilishi kerak.
Yuqoridagiga o‘xshash sonli usullarning korrektlik tushunchasi kiritilgan. Agar masaladagi parametrlarning barcha qiymatlarida sonli yechim mavjud, yagona va turg‘un bo‘lsa, u korrekt deyiladi.
Sonli usullar bilan topilgan yechim masalaning xaqiqiy yechimiga yaqin bo‘lishi kerak. Buni sonli usullarning yaqinlashishi tushunchasi yordamida tahlil qilishimiz mumkin. Diskretlashgan masalalar misolida yaqinlashish tushunchasini quyidagicha berishimiz mumkin. Agar diskretlashtirilgan masalaning yechimi diskretlashtirish parametri nolga intilganda dastlabki uzluksiz masalaning yechimiga intilsa, sonli usul yaqinlashadi deyiladi.
Sonli usullar ichida eng ko‘p ishlatiladiganlari ayirmali usullardir. Bu usullar yordamida uzluksiz matematik modellardan diskret modellar hosil qilinadi. Buning uchun masala qaralayotgan soha diskret nuqtalar majmuasi - to‘r bilan almashtiriladi, tenglamadagi, chegaraviy va boshlang‘ich shartlardagi xossalardan chekli ayirmalarga o‘tiladi. Natijada to‘rning tugun nuqtalarida aniqlangan funksiyalarga nisbatan algebraik tenglamalar sistemasi hosil qilinadi. Ma’lumki, matematik modellar asosida yotuvchi tenglamalar aksariyat hollarda fizika, mexanikadagi saqlanish qonunlari asosida tuziladi. Bu qonunlar matematik modeldagi tenglamalar diskret tenglamalar - chekli ayirmali sxemalar bilan almashtirilganda ham bajarilishi kerak. Bunday chekli ayirmali sxemalarga konservativ sxemalar deyiladi. Konservativ sxemalar tenglamalar yechimini fizik nuqtai nazardan to‘g‘ri olish imkoniyatini beradi. Shuning uchun chekli ayirmali sxemalarning konservativlik sharti masalalar yechishda boshqa shartlar qatori tekshirilishi kerak.
Sonli usullarga qo‘yiladigan talablarning ikkinchi guruhini diskret modelni kompyuterda o‘tkazish imkoniyatlari tashkil qiladi. Sonli usullar shunday algoritmlarga olib kelishi kerakki, kompyuterning xotira qurilmasi ular uchun yetarli bo‘lishi kerak va hisob-kitob vaqti iloji boricha kam bo‘lishi kerak.
Sonli usullarga qo‘yiladigan talablarning ikkinchi guruhini diskret modelni kompyuterda o‘tkazish imkoniyatlari tashkil qiladi. Sonli usullar shunday algoritmlarga olib kelishi kerakki, kompyuterning xotira qurilmasi ular uchun yetarli bo‘lishi kerak. Hisoblash algoritmlari yetarli samaradorlikka ega bo‘lishi kerak. Algoritmdagi arifmetik va mantiqiy amallar soni iloji boricha kam bo‘lib, u kompyuterning xotira qurilmasida kam hajmni egallashi kerak.
4-§.Algebraik va transsendant tenglamalarni taqriban yechish usullari.

Chiziqli bo‘lmagan tenglamalar va ularning sistemalariga ko‘pgina ilmiy izlanishlarda va muhandislik - loyihalash masalalarini yechishda duch kelamiz.
Chiziqli bo‘lmagan tenglamalarni rasmdagiday ikki xilga bo‘lish mumkin: algebraik va transsendent.
1-ta’rif. Chap tomoni n-darajali ko‘pxaddan iborat ushbu :
A₀xⁿ+A₁x^n-1+A₂x^{n- +} _nx+A=0 (1)
ifoda bir noma’lumli algebraik tenglama deyiladi.
Bunda A₀,A₁, … ,A_n - algebraik tenglamaning koeffitsentlaridan iborat, A₀0.
2-ta’rif. Tarkibida transsendent (ko‘rsatkichli, logarifmik, trigonometrik, teskari trigonometrik va xokazo) funksiyalar mavjud bo‘lgan tenglamalar transsendent tenglamalar deyiladi.
Agar algebraik va transsendent tenglamalarning chap tomonini qisqacha f(x) orqali belgilasak, bu tenglamalarni
f(x) = 0 (2) ko‘rinishda yozish mumkin.
3 – t a ‘ r i f. f(x) = 0 tenglamani chap tomonidagi funksiyani nolga aylantiruvchi x=x₀ kiymat bu tenglamaning ildizi deyiladi.
Chiziqsiz tenglamalarni yechish usullari ikkita guruhga bo‘linadi: aniq (to‘g‘ri) va iteratsion (taqribiy) usullar. Aniq usul yordamida tenglamaning yechimi formulalar orqali aniqlanadi. Masalan, kvadrat tenglamaning yechimini topishni shu usulga misol sifatida ko‘rsatish mumkin:
ax²+vx+s=0 -chiziqsiz tenglamani yechimlari:

Iteratsion usullar bilan chiziqli bo‘lmagan tenglamalarni yechish bir necha bosqichga bo‘linadi. Birinchidan, yechimlar sonini, ularning sonlar o‘qida taqsimlanishini baholash kerak.
Ildizlarni ajratish uchun ma’lum qadam bilan o‘zgaruvchi x larda f(x) funksiyaning qiymatlarini hisoblab qurish mumkin. Agar yonma-yon ikkita a va b nuqtalarda f(x)funksiya har xil ishorali qiymatlarni qabul qilsa, ya’ni f(a)*f(b)<0 bo‘lsa, f(x) funksiya uzluksiz bo‘lganligi uchun [a,b] kesmada uning hech bo‘lmaganda bitta ildizi bo‘ladi.
Iteratsion usullarda ilgari ko‘rilganidek yechimning dastlabki x₀ ixtiyoriy yaqinlashishi olinadi va u ketma-ket aniqlashtirilib boriladi. Natijada yechimning x_0,x₁,..., x_n,.. ketma-ketligi hosil qilinadi. Agarda bu ketma-ketlik n∞ bo‘lganda aniq x yechimga intilsa, iteratsiya jarayoni yaqinlashadi deyiladi.
Yechimning taqribiy qiymatini topish uchun grafik usuldan ham foydalanish mumkin. Bunda f(x) funksiyaning aniqlanish sohasida grafigi chizilib, uning Ox o‘qi bilan kesishgan nuqalari topiladi. Bu nuqtalarga mos keluvchi x lar taqribiy yechim deb qabul qilinadi. Ayrim hollarda f(x)0 tenglamani unga teng kuchli bo‘lgan f₁(x)=f₂(x) ko‘rinishda tasvirlanadi. Keyin f₁(x) va f₂(x) funksiyalarning grafiklari alohida- alohida chizilib, ikkala grafikning kesishish nuqtalari topiladi. Bu nuqtalarning abssissalari ildizlarning taqribiy qiymatlari deb qabul qilinadi. Taqribiy ildiz yotgan [a,b] kesmani haqiqatda to‘g‘ri olinganligini analitik yo‘l bilan tekshirib ko‘rish mumkin. Buning uchun yana ildizning mavjudlik sharti f(a)f(b)<0 dan foydalanamiz. Agar shart bajarilsa oraliq to‘g‘ri tanlangan bo‘ladi.
M i s o l. Ushbu f(x)=X³5X-1 tenglamaning taqribiy ildizini =0,01 aniqlikda toping.
Ye ch i sh. Avvalo ildizni ajratib olishimiz kerak. Buning uchun f₁(x)=X³ va f₂(x)=1-5X funksiyalarning grafigini chizib olamiz (5-rasm). x=0 va x=1 nuqtalarda f(x) funksiya har xil ishorali qiymatlariga ega:

5-rasm
f(0)=-1<0, f(1)=5>0.

Demak, ildiz [0;1] kesmada yotadi.Oraliq aniqlangach, turli usullardan birini ishlatib, kerakli aniqlikdagi yechimni olish mumkin.
Iteratsion usullarning ayrimlarini quyida qaraymiz.

1.