|
3. Vatarlar usuli. Bu usulining mohiyati quyidagicha: bu usulda ham ildiz yotgan [a,v] kesma aniq deb hisoblaymiz. Ildizga yaqinlashuvchi c0..., cn,... ketma-ketlikni f(x) funksiyaning vatarlarini Ox o‘qi bilan kesishish nuqtalari tashkil qiladi.
Shuning uchun (5.1) tenglamadan
(5.2)
ni hosil qilamiz. Bu nuqtada f(c0) ni hisoblaymiz. Rasmda ko‘rsatilgan hol uchun f(c0)<0. Demak, yechim [a, c0] kesmada bo‘ladi. Ikkini vatarni A va V1 nuqtalardan o‘tkazamiz. U Ox o‘qini c1 nuqtada kesib o‘tadi. Bu jarayonni davom ettirib kerakli aniqlikdagi yechim topiladi.Demak formula vatarlar usulining asosiy ishchi formulasi ekan.
Nyuton (urinmalar) usuli. Bu usulda birinchi navbatda Xo-dastlabki yaqinlashishni tanlab olinadi,ya’ni taqribiy ildiz yotgan [a,v] kesma uchlaridan birini Xo sifatida olish mumkin.
Birlashgan usul. Ayrim hollarda (5.1) tenglamaning ildizini tezroq topish uchun vatarlar va urinmalar usullari birgalikda ishlatiladi.
Bu birlashgan usulni tushunish uchun rasmlarda ko‘rsatilgan hollarni yana bir bor qaraymiz. Misol uchun rasmda tasvirlangan f'(x)<0, f''(x)>0 hol o‘rinli bo‘lsin. Boshqa hollar ham xuddi shunday tahlil qilinishi mumkin. A va V nuqtalardan vatar o‘tkazib, uning Ox o‘qi bilan kesishgan c0 nuqtasini topamiz. Bu nuqta vatarlar usulida keltirib chiqarilgan (5.2) formula bilan topiladi. Izlanayotgan yechim (a, c0) kesmada bo‘ladi. Endi A nuqtadan urinma o‘tkazamiz va uning Ox o‘qi bilan kesishgan nuqtasi b0 ni topamiz. b0 =a-f(a)/f'(a).
Shunday qilib, yechim yotgan [a,b] kesma [b0 , c0] kesmagacha qisqartirildi. Xuddi shu yo‘sinda o‘ng tarafdan vatarlar usuli va chap tarafdan urinmalar usuli bilan yaqinlashib x=s ning taqribiy qiymati topiladi.
Yechimning qaysi tarafidan qaysi usul bilan yaqinlashish kerakligini urinmalar usulidagi f'(x)f''(x)>0 shartning bajarilishiga ko‘ra aniqlaymiz. Agar bu shart [a,b] kesmaning yoki bu kesmani o‘z ichiga oluvchi ixtiyoriy kesmaning chap yoki o‘ng chetlarida bajarilsa, shu tarafdan urinmalar usuli, qolgan tarafdan esa vatarlar usuli ishlatiladi.
Bu usulda ketma-ket yaqinlashishlar f(x)=0 tenglama
x=(x) (5.3)
ko‘rinishga keltirib tuziladi.
[a, b] kesmada ihtieriy x0 yechimning boshlang‘ich yaqinlashishini aniqlaymiz. Buni (1) tenglamaning o‘ng tarafiga qo‘yib, chap tarafda yechimning birinchi yaqinlashishini topamiz:
x1 =(x0).
Topilgan yaqinlashishni ketma-ket (1) ning o‘ng tarafiga qo‘yib borib, chap tarafda yangi yaqinlashishlari topamiz:
xn+1=(xn), n=0,1,2,... (5.4)
Agar x0,x1,... ketma-ketlik chekli limitga ega bo‘lsa, u (5.3) tenglamaning yechimi bo‘ladi.
Iteratsiya jarayoni |xn+1 -xn|< shart bajarilguncha davom ettiriladi.
Iteratsiya usulining yaqinlashish masalasiga to‘xtab o‘tamiz. Yuritiladigan mulohazalar 9-rasmda o‘z tasvirini topgan. (5.3) tenglamaning yechimi u=x va u=(x) funksiyalar grafiklarining kesishgan nuqtasining absissasiga teng. Rasmlarda u x=s nuqtaga mos keladi.
Iteratsiya usulining umumiy algoritmiga binoan x=x0 dastlabki yaqinlashishni tanlab olamiz. Birinchi yaqinlashish x1 =(x0) bo‘ladi. Bu geometrik nuqtai nazardan (x) nuqtaga mos keluvchi A0(x0,(x0))nuqtadan Ox o‘qiga parallel to‘g‘ri chiziq o‘tkazib, uning u=x to‘g‘ri chiziq bilan kesishish nuqtasining abssissasini topish demakdir. Bu nuqtada (x1) ni hisoblaymiz. Buning natijasida A0(x1,(x1)) nuqta topiladi. Bu nuqtadan yana Ox o‘qiga parallel to‘g‘ri chiziq bilan kesishgan nuqtasining abssissasi, ya’ni x2=(x1)ni topamiz va h. k. 40-a rasmdan ko‘rinib turibdiki, A0, A1,... nuqtalar A(s,(s)) nuqtaga yaqinlashib boradi va o‘z navbatida x0,x1,... ketma-ketlik x=s limitga intiladi. Demak,0<'(x)<1 bo‘lganda iteratsiya jarayoni yaqinlashar ekan.
Endi -1<'(x)<0 bo‘lgan holni qaraymiz (rasm). Ketma-ket yaqinlashishlar rasmda strelkalar yordamida yaqqol ko‘rsatilgan. Bunda, faqat, oldingi holdan farqli ravishda x0, x1 ... yaqinlashishlar x=s yechimning har xil tarafida yotadi. Bu holda ham yaqinlashuvchi iteratsiya jarayoniga ega bo‘ldik.
Qolgan '(x)<-1, '(x)>1 (40-v, g rasmlar) hollarda iteratsiya jarayoni uzoqlashuvchi bo‘ladi, '(x)<-1 bo‘lganda yaqinlashishlar x=s yechimning ikkala tarafida uzoqlashib boradi. '(x)>1 bo‘lganda esa ular yechimning bir tarafida uzoqlashadi.
Bu mulohazalarni yakunlab quyidagi xulosaga kelamiz: iteratsiya usuli qaralayotgan sohada |'(x)|<1 bo‘lganda yaqinlashadi va |'(x)|1 bo‘lganda uzoqlashadi.
|
U A0
A2
A1
X0 X2 C X3 X2 X
|
a)
|
b)
|
U A0
A1
X2 X0 C X1 X
|
U
A1
A0
A
A1
C X0 X1 X2 X
|
v)
|
g)
|
Yana (5.1) tenglamani qaraymiz. Uni x=0.5 +yexr (-0,5x) (5.5) ko‘rinishdan yozib olamiz.
Iteratsiya usulining yaqinlashish shartini [1;1,5] kesmada tekshirib ko‘ramiz. Tenglamaning o‘ng tarafi - (x)=0,5+yexr(-0,5x) funksiya (1)1,106dan (1,5)0,972 gacha monoton kamayib boradi. Uning '(x)=-0,5 yexr (-0,5) xosilasi ham monoton funksiya bo‘lib, '(1) = -0,303 dan '(1,5) -0,236 gacha o‘sadi. Demak, qaralayotgan [1;1,5] kesmada |'(x)|<1 shart bajariladi. Shu sababli (5.9) tenglama uchun iteratsiya usuli yaqinlashadi. Yechimning dastlabki yaqinlashishi sifatida x0=1,5 ni olib iteratsiyalar tuzamiz:
x1=0,5+yexr(-0,5.0,5)0,9724
x2=0,5+yexr(-0,5.0,9724)1,115
x3=0,5+yexr (-0,5.1,115)1,073,
..............................
Iteratsiyalarni davom ettirib 11-qadamda 10-6 aniqlikda x1,082128 taqribiy yechimini topamiz. -1<'(x)<0 bo‘lganligi uchun ketma-ket yaqinlashishlar yechimning ikkala tarafidan bo‘ladi. Yuqorida keltirilgan yaqinlashishlarga qarab bunga ishonch hosil qilishimiz mumkin.
Do'stlaringiz bilan baham: |
