Maruza mashg’ulotlari

Nyutonning birinchi interpolyatsion koʻphadi asosida sonli differensiallash formulasi. Bizga y(x) funksiyaning [a, b] oraliqda teng uzoqlikda joylashgan ( 0, 1, 2, ...,n ) nuqtalarda y_i=f (x_i) qiymatlari bilan berilgan boʻlsin.

Berilgan [a, b] oraliqda funksiyaning , ,... hosilalarini topish uchun, y(x) funksiyani x₀,x₁,x₂,...x_k, (kn) nuqtalardagi Nuyoton interpolyatsion formulasi bilan almashtiramiz va quyidagiga ega boʻlamiz:

bu yerda , h=x_i+1-x_i; i=0,1,2,….

Binom koʻpaytmalarni qavsdan ochsak quyidagini hosil qilamiz:

Shunday qilib

. U holda

Shu tarzda  ekanligidan

kelib chiqadi. Shu usul bilan y(x) funksiyaning ixtiyoriy tartibli hosilasini hisoblash imkoniga ega boʻlamiz.

E’tibor bersak, x ning belgilangan nuqtasidagi , … hosilalarini topishda x₀ sifatida argumentning jadvalli qiymatiga yaqinini olishimizga toʻgʻri keladi.

Ba’zan, y(x) funksiyaning hosilasini topishda asosan berilgan x_i nuqtalardagi foydalaniladi. Bunda sonli differensiallash formulasi bir muncha qisqaradi. Shu tarzda jadvalli qiymatning har bir nuqtasini boshlangʻich nuqta deb faraz qilib olsak, unda x=x₀ q0 koʻrinishda yozsa boʻladi va quyidagiga ega boʻlamiz:

.

Agar P_k(x) -Nyuton interpolyatsion koʻphadining chekli ayirmalari va mos ravishda hatoligi R_k(x)=y(x)-P_k(x) boʻlsa,

unda hosilasining hatoligi

R_k^’(x)=y^’(x)-P_k^’(x) oʻladi.

Oldingi mavzulardan ma’lumki

Bu yerda  - x₀, x₁, x₂,…x_k orasidagi ixtiyoriy son. Shu sababli

Y(x)C^(k+2) koʻzlasak u holda quyidagiga ega boʻlamiz:

Shu yerdan x x₀, va q0 hamda ekanligini bilib quyidagiga ega boʻlamiz:

Shunday qilib koʻpgina hollarda baholash qiyinchilik tugʻdiradi, lekin h ning kichik yaqinlashishida quyidagicha hisoblash mumkin:

demak

Nyutonning ikkinchi interpolyatsion koʻphadi asosida sonli differensiallash formulasi. Funksiyani oxirgi nuqtalardagi birinchi interpolyatsion koʻphad orqali ifodalash amalyotda noqulayliklar tugʻdiradi . Bunday hollarda Nyutonning ikkinchi interpolyatsiyasi orqali ifodalash kerak boʻladi. Sonli differensiallash jarayoni huddi birinchi interpolyatsion shaklda keltirib chiqariladi.

Bunda ham y(x) funksiyaning [a,b] oraliqda teng uzoqlikda joylashgan x_i (0, 1, 2,...,n) nuqtalarda y_i =f(x_i) qiymatlari bilan berilgan boʻlsa,

, … hosilalarini topish uchun, y(x) funksiyani x₀, x₁,...,x_k (kn) nuqtalardagi Nuyotonning ikkinchi interplyasion formulasi (polinumi) bilan almashtiramiz va quyidagiga ega boʻlamiz:

bu yerda , h=x_i+1-x_i; i=0,1,2,….

Binom koʻpaytmalarni qavsdan ochsak quyidagini hosil qilamiz:

Shunday qilib

. U holda

Shu tarzda  ekanligidan

kelib chiqadi. Shu usul bilan y(x) funksiyaning ixtiyoriy tartibli hosilasini hisoblash imkoniga ega boʻlamiz.

E’tibor bersak, x ning belgilangan nuqtasidagi , … hosilalarini topishda x₀ sifatida argumentning jadvalli qiymatiga yaqinini olishimizga toʻgʻri keladi

Ba’zan, y(x) funksiyaning hosilasini topishda asosan berilgan x_i nuqtalardagi foydalaniladi. Bunda sonli differensiallash formulasi bir muncha qisqaradi. Shu tarzda jadvalli qiymatning har bir nuqtasini boshlangʻich nuqta deb faraz qilib olsak, unda x=x_n q0 koʻrinishda yozsa boʻladi va quyidagiga ega boʻlamiz:

.

Agar P_k(x) -Nyuton interpolyatsion koʻphadining chekli ayirmalari va mos ravishda hatoligi R_k(x)=y(x)-P_k(x) boʻlsa,

unda hosilasining hatoligi

R_k^’(x)=y^’(x)-P_k^’(x) oʻladi.

Oldingi mavzulardan ma’lumki

Bu yerda  - x₀, x₁, x₂,…x_k orasidagi ixtiyoriy son. Shu sababli

Y(x)C^(k+2) koʻzlasak u holda quyidagiga ega boʻlamiz:

Shu yerdan x x₀, va q0 hamda ekanligini bilib quyidagiga ega boʻlamiz:

Shunday qilib koʻpgina hollarda baholash qiyinchilik tugʻdiradi, lekin h ning kichik yaqinlashishida quyidagicha hisoblash mumkin:

demak

Misol. Jadvalda keltirilgan ylgx funksiyaning qiymatlaridan foydalanib y(50) ning qiymatini birinchi interpolyatsion almashtirishda foydalanib hisoblang.

x	y	∆y	∆^2y	∆^3y
50 55 60 65	1.6990 1.7404 1.7782 1.8129	414 378 347	-36 -31	5

Yechish. Bu yerda h=5. Keltirilgan jadvalning oxirgi 3 ta ustunini chekli ayirmalar bilan toʻldiramiz. Yuqoridagi formulalardan foydalanib hisoblasak quyidagiga ega boʻlamiz:

^y’(50)=1/5 (0,0414+0,0018+0,0002) =0,0087

Haqiqatdan ham

.

Koʻrinib turibdiki sonli usuldagi hisob natijasi bilan analitik usuldagi hisob natijalarning 4 xona aniqlikdagi yaxlitlangan qiymatlari bir xil.