Maruza mashg’ulotlari

P_n(x)=a₀+a₁(x-x₀)+a₂(x-x₀)(x-x₁)+...+ a_n(x-x₀)(x-x₁)...(x-x_n-1 ,) (8.1)

Bu n-tartibli ko'phad hisoblanadi. Interpolyatsiya masalasidagi shartga ko'ra P_n(x) ko'phad x₀, x_1,... x_n interpolyasiya tugunlarida P_n(x₀)=y₀. P_n(X₁)=y₁ Pn(x₂)=y₂, .... P_n(x_n)=y_n qiymatlarni qabul qiladi, x=x₀ deb tasavvur qilsak, yuqoridagi (8.1) formuladan y₀=p_n(x₀)=a₀, ya’ni a₀=u₀, so'ngra x ga x₁va x₂ larga qiymatlar berib, birin –ketin quyidagiga ega bolamiz:

bundan ,

Yani

Yoki bundan

Bu jarayonni davom ettirib, x=x_n uchun quyidagi ifodani hosil qilamiz:

Topilgan a₀, a₁, a₂...... a_n koeffitsientlarning qiymatlarini (8.1) formulaga qo'ysak,

ko'rinishga ega bo'lamiz. Bu .yuqoridagi formulada .

ya’ni deb belgilash kiritilsa, u holda

……………………………………….

Natijada Nyutonning 1- interpolyatsion formulasiga ega bo'lamiz:

Nyutonning 1- interpolyatsion formulasini [a, b] ning boshlangich nuqtalarida qo'llash qulay. Agar n=1 bo'lsa, u holda

ko'rinishdagi chiziqli interpolyatsion formulaga,

n=2 bo'lganda esa

ko rinishdagi parabolik interpolyatsion formulaga ega bo'lamiz. Nyutonning 1- formulasini oldinga qarab interpolyatsiyalash formulasi ham deyiladi.

qoldiq hadi

bu yerda , Funksiyaning analitik ko'rinishi har doim ham ma’lum bo'lavermaydi. Bunday hollarda chekli ayirmalar tuzilib,

deb olinadi.

U holda Nyutonning birinchi interpolyatsion formulasi uchun xatolik

formula orqali topiladi.

Misol. y=lgx funksiyaning jadvalda berilgan qiymatlaridan foydalanib uning x=1001 bo'lgan holdagi qiymatini toping.

x	u	u	^2u	^3u
1000 1010 1020 1030 1040 1050	3.0000000 3.0043214 3.0086002 3.0128372 3.0170333 3.0211893	43214 42788 42370 41961 41560	-426 -418 -409 -401	8 9 8

Yechish. Chekli ayirmalar jadvalini tuzamiz. Jadvaldan ko'rinib turibdiki, 3- tartibli chekli ayirma o'zgarmas, shu sababli n=3 olish yetarli:

x=1001 uchun q=0,1, h=10

Shuning uchun

Endi qoldiq hadni baholaymiz. n=3 bo'lganda quyidagiga egamiz:

Bu erda

F(x)=lgx bo’lganligi uchun shuning uchun

h=10 va q=0.1 qiymatlar uchun quyidagilarga ega bo’lamiz

Shunday qilib, qoldiq had ekan.