Maruza mashg’ulotlari

Nyutonning ikkinchi interpolyatsion formulasi. Nyutonning birinchi interpolyatsion formulasi jadvalning boshida va ikkinchi formulasi esa jadvalning oxirida interpolyatsiyalash uchun mo'ljallangan. Nyutonning ikkinchi interpolyatsion formulasini keltirib chiqaramiz.

Faraz qilaylik y=f(x) funksiyaning n+1 ta qiymati ma’lum bo'lsin, ya’ni argumentning n= 1 x₀, x₁, x₂, ..., x_n qiymatlarida funksiyaning qiymatlari y₀, y₁, y₂,….. y_n bo'lsin. Tugunlar orasidagi masofa h o'zgarmas bo'lsin. Quyidagi ko'rinishdagi interpolyatsion ko'phadni quramiz:

P_n(x)=a₀+a₁(x-x_n)+a₂(x-x_n)(x-x_n-1)+ a₃(x-x_n)(x-x_n-1)(x-x_n-2)+

+...+ a_n(x-x_n)(x-x_n-1)...(x-x₁ ,) (8.2)

Bunda qatnashayotgan a₀, a₁ ..., a_n noma’lum koeffitsientlarni topishni X=Xn bo'lgan holdan boshlash kerak. Keyin esa argumentga x_n-1, x_n-2…qiymatlar berib, qolgan koeffitsientlar aniqlanadi.

Yuqo’ridagi ko'rilgan mulohazalarni (8.2) formula uchun ham qo'llasak, u holda noma’lum koeffitsientlar a₁ a₂, a₃, ..., a_n lami topish uchun quyidagilarni hosil qilamiz:

, , , ……….

Topilgan koeffitsientlarning qiymatlarini (8.2) formulaga qo'ysak, (8.3) ko'rinishdagi Nyutonning ikkinchi interpolyatsion formulasi kelib chiqadi.

Bu formulada deb belgilash kiritsak,
(8.4)

hosil bo'ladi. Ba'zan bu formulani orqaga qarab interpolyatsiyalash formulasi ham deyiladi. (8.4) formuladan [a, b] kesmaning oxirgi nuqtalarida foydalanish qulayroqdir. Nyutonning ikkinchi interpolyatsion formulasining qoldiq hadini baholash formulasi quyidagicha bo iadi:

Endi tugunlar bir xil , bu yerda ,

Agar funktsiyaning analitik ko rinishi m a’lum bo'lmasa, u holda

chekli ayirmalar tuzilib,

deb olinadi. Shuning uchun Nyutonning ikkinchi interpolyatsion fo r­

mulasi uchun xatolik formulasi

bladi.

Misol. y =lgx funktsiyaning jadvalda berilgan qiymatlaridan

foydalanib, uning x=1033 dagi qiymatini hisoblang. bunda h=10.

x	y
1000 1010 1020 1030 1040 1050	3,0000000 3,0043214 3,0086002 3,0128372 3,0170333 3,0211893

Ychish:Chekli ayirmalar jadvalini tuzamiz

x	y	∆y	∆^2y	∆^3y
1000 1010 1020 1030 1040 1050	3,0000000 3,0043214 3,0086002 3,0128372 3,0170333 3,0211893	43214 42788 42370 41961 41560	-426 -418 -409 -401	8 9 8

Jadvalga ko’ra X_n=1050 bo’lgani uchun

Chekli ayirmalar jadvalidan tagiga chizilgan ayirmalardan foydalangan holda Nyutonning ikkinchi interpolyatsion formulasini qo’llab quyidagilarini hosil qilamiz: