Maruza mashg’ulotlari

Simpson (parabolalar) usuli algoritmining blok-sxemasi.

algoritm asosida paskal dasturlah tilidagi dasturi:

Program Parabola;

var a,b,h,s,s1,s2:real;

k,m,n:byte;

function f(x:real):real;

begin f:=... end;

begin

write('a,b'); readln( a,b);

write('n='); readln(n);

m:=n*2; h:=(b-a)/m; s:=f(a)+f(b); s1:=0; s2:=0;

for k:=1 to m-1 do s1:=s1+f(a+2*k*h);

for k:=1 to m do s2:=s2+f(a+(2*k-1)*h);

s:=h/3*(s+2*s1+4*s2);

writeln('s=',s);

end.
9-§.Birinchi tartibli tenglamalarni taqriban yechish

Ma’lumki, ko‘pincha amaliy masalalarni echishda, dastlab uning matematik modeli fizik, mexanik, kimyoviy va boshqa qonuniyatlar asosida tuziladi. Matematik model asosan algebraik, differensial, integral va boshqa tenglamalardan iborat bo‘ladi. Oddiy differensial tenglamalar esa juda ko‘p muhandislik masalalarini echishda uchraydi. Demak, differensial tenglamalarning ma’lum shartlarni qanoatlantiruvchi echimlarini topish katta ahamiyatga ega.

Differensial tenglamalar ikkita asosiy sinfga bo‘linadi: oddiy differensial tenglamalar va xususiy hosilali differensial tenglamalar.

Xususiy hosilali differensial tenlamalarga keyinroq batafsil to‘xtalamiz.

Oddiy differensial tenglamalarda faqat bir o‘zgaruvchiga bog‘liq funksiya va uning hosilalari qatnashadi, ya’ni

(11.1)

(1) tenglamada qatnashuvchi hosilalarning eng yuqori tartibi differensial tenglamalarning tartibi deyiladi. Agar tenglama izlanuvchi funksiya va uning hosilalariga nisbatan chiziqli bo‘lsa, unga chiziqli differensial tenglama deyiladi.

Differensial tenglamaning umumiy echimi deb, uni ayniyatga aylantiruvchi va n ta o‘zgarmaslarga bog‘liq ixtiyoriy funksiyaga aytiladi. Masalan (11.1) tenglamaning umumiy echimi ko‘rinishdagi funksiyalardan iborat . Agar o‘zgarmaslarga muayyan qiymatlar berilsa, umumiy echimdan xususiy echim hosil qilinadi. Xususiy echimni topish uchun o‘zgarmaslarning mos qiymatlarini aniqlash lozim. Buning uchun esa echimni qanoatlantiruvchi qo‘shimcha shartlarga ega bo‘lishimiz kerak. Agar differensial tenglama n-tartibli bo‘lsa, yagona xususiy echimni topish uchun xuddi shuncha qo‘shimcha shartlar kerak. Xususan, 1-tartibli tenglama ( ) ning umumiy echimi dagi s o‘zgarmasni topish uchun 1 ta qo‘shimcha shartning berilishi kifoya.

Qo‘shimcha shartlar berilishiga ko‘ra differensial tenglamalar uchun 2 xil masala qo‘yiladi:

1. 
   Koshi masalasi
   
2. 
   Chegaraviy masala.
   

Agar qo‘shimcha shartlar bitta nuqtada berilsa, differensial tenglamani echish uchun qo‘yilgan masala Koshi masalasi deyiladi. Koshi masalasidagi qo‘shimcha shartlar boshlang‘ich shartlar, nuqta esa boshlang‘ich nuqta deb ataladi. Oddiy differensial tenglamalarni echishning chizma, analitik, taqribiy va sonli echish usullari mavjud.

Analitik usullarda differensial tenglamaning echimlari aniq formulalar orqali aniqlanadi.

Taqribiy usullarda differensial tenglama va qo‘shimcha shartlar u yoki bu darajada soddalashtirilib, masala osonroq masalaga keltiriladi.

Sonli usullarda esa echim analitik shaklda emas, balki sonlar jadvali ko‘rinishida olinadi. Albatta bunda differensial tenglamalar oldin diskret tenglamalar bilan almashtirib olinadi. Natijada sonli usullar vositasida olingan echim ham taqribiy bo‘ladi.

Umuman olganda, oddiy differensial tenglamalarning echimlarini analitik usul yordamida topish imkoni juda kam bo‘lganligi uchun, amalda ko‘pincha ularni sonli usullar yordamida taqribiy hisoblanadi.
10-§.Eyler va Runge-Kutta usullari

Birinchi tartibli oddiy differensial tenglamalarni taqriban yechishning usullardan Eyler va Runge-Kutta usullarini ko‘rib chiqamiz.

Eyler usuli

Bizga quyidagi birinchi tartibli differensial tenglama(Koshi masalasi)ni

(12.1)

oraliqdagi boshlang‘ich shartni qanoatlantiruvchi echimini topish lozim bo‘lsin.

Koshi masalasini Eyler usuli yordamida echish uchun, dastlab differensial tenglamaning echimi qidiriladigan kesmani tugun nuqtalar bilan bo‘laklarga bo‘lamiz. Tugun nuqtalarning koordinatalari ( ) formula orqali aniqlanadi. Har bir tugunda echimning qiymatlarini chekli ayirmalar yordamida taqribiy qiymatlar bilan almashtiriladi.

Ma’lumki, funksiyaning nuqta atrofidagi Teylor qatoriga yoyilmasini quyidagicha yozish mumkin:



Ushbu cheksiz qatorning boshidagi ikkita had bilan chegaralanib, birinchi tartibli hosila qatnashgan hadni aniqlash natijasida quyidagi chekli ayirmali formulani hosil qilamiz:

(12.2)

Ushbu almashtirishning geometrik ma’nosi quyidagicha:

Xosilaning geometrik ma’nosiga ko‘ra




BD

(12.2) dan



Demak, chekli ayirmalar formulasi hosilaning asl qiymatidan ga farq qiladi, ya’ni BE qancha kichik bo‘lsa, chekli ayirma hosilaga shuncha yaqin bo‘ladi. Rasmdan da ekanini ko‘rish mumkin. (12.1) va (12.2) dan ekanini hisobga olib, quyidagini hosil qilamiz:

(12.3)

Hosil qilingan (12.3) formula Eyler usulining asosiy ishchi formulasi bo‘lib, uning yordamida tugun nuqtalarga mos bo‘lgan differensial tenglamaning xususiy echimlarini topish mumkin. Yuqoridagi formuladan ko‘rinib turibdiki, echimni topish uchun echimnigina bilish kifoya. Demak, Eyler usuli bir qadamli usullar jumlasiga kiradi.

Eyler usulining geometrik ma’nosi quyidagicha:

A nuqta nuqtaga mos keluvchi echim bo‘lsin. Bu nuqtadan integral chiziqqa o‘tkazilgan urinma nuqtada boshqa integral chizig‘ida echimni aniqlaydi.

Urinmaning og‘maligi hosila bilan aniqlanadi. Demak, Eyler usulidagi yo‘l qo‘yilgan asosiy xatolik echimni bir integral chizig‘idan boshqasiga o‘tkazib yuborishi bilan xarakterlanadi.