Maruza mashg’ulotlari

Iteratsion usullarning umumiy tasnifi. Avval qayd etilganidek, iteratsion usullar tizimning izlangan x yechimiga yaqinlashadigan y₀, y_1, y₂, ... iteratsion ketma-ketliklarni qurishga asoslangan. Har bir shunday usul navbatdagi y_k+1 ni hisoblashda faqat bitta avvalgi uk iteratsiyadan foydalaniiadi. Bunday usullar bir qadamli deyiladi. Bir qadamli usullar uchun iteratsion formulani quyidagi standart kanonik ko'rinishda yozish

(6.20)

qabul qilingan; bunda - iteratsion parametrlar , - yordamchi maxsus bo’lmagan matritsalardir. Agar va B lar k+1 indeksga bog'liq bo'lmasa, ya’ni (6.20) formula ixtiyoriy k lar uchun bir xil ko'rinishga ega bo'lsa, u holda bu iteratsion usul statsionar usul deyiladi. Statsionar usullar hisoblash jarayonini tashkil etish nuqtai nazaridan soddadir. Ammo nostatsionar usullar boshqa ustunliklarga ega: ular { ketma-ketliklarni tanlash bilan boglangan qo'shimcha «erkinlik darajasiga» ega. Bundan y_k iteratsiyalar tizimning x yechimiga yaqinlashish tezligini oshirishda foydalanish mumkin.

(6.20) iteratsion formula yordamida navbatdagi y_k+1 yaqinlashishni topish ushbu

(6.21) tenglamalar tizimini yechishni talab etadi. Bunda

(6.22)

Shunday hisoblashni har bir qadamda bajarishga to'g'ri keladi.

B_k+1 matritsa sifatida birlik B_k+1 = E matritsa olsak, iteratsion ketma-ketlik hadlarini hisoblash uchun eng sodda shaklga ega bo'lamiz. Bunday holda navbatdagi y_k+1 iteratsiyani topish uchun y_k+1 ning komponentlarini (6.21) uchburchakli tizimdan birin-ketin Gauss usulining teskari yurishiga qilinganidek topishga keltiriladi.

qandaydir iteratsion usulning qo'llanishi {u_k} ketma-ketlik tizimning x

yechimiga yaqjn|ashishni bildiradi:

y (3.20) terigijk quyidagini anglatadi:

(6.23)

(6.23) dan ko’rinadiki, y_k vektorlar ketma-ketligining x vektorga

yaqinlashishining zaruriy va yetarli sharti har bir komponentning

yaqinlashuvchiiigidan iborat i=1,2,3…..,n

Ushbu ayrjm z_k=y_k-x xatolik deyiladi. y_k ni y_k=x + z_k ko'rinishda yozib va

(6.20) ga qo'yjb, xatolik uchun,

(6.24)

iteratsion formulani hosil qilamiz. (6.20) dan farqli o'laroq, u tizimning

o’ng tomoni (f) ni o'z ichiga olmaydi, ya’ni bir jinslidir. (6.23) yaqinlash-

ishm talatj etish z_k ning nolga intilishi lozimligini anglatadi:

(6.25)

Har bir iteratsion usul yaqinlashuvchiligining yetarlilik shartlari A,B_k+1

matritsalar va iteratsion parametrlarni optimal tanlashga oid shartlarni tekshirish qiyin. Natijada hisoblashlarni bajarayotganda iteratsion parametrlarni ko'pincha tajriba yo'li bilan (empirik) tanlashga to’g’ri keladi.

Iteraцiya usuli. (6.10) sistemani

x₁=₁(x₁,x₂,...,x_n),

x₂=₂(x₁,x₂,...,x_n), (6.26)

..................

x_n=_n(x₁,x₂,...,x_n)

ko‘rinishda ёzib olamiz.

Chiziqli bo‘lmagan bitta tenglamani echishda ishlatilgan iteraцiya usuliga o‘xshash. Bu erda ham ixtiёriy x⁽⁰⁾= (x₁⁽⁰⁾,x₂⁽⁰⁾,...,x_n⁽⁰⁾) vektorni olib (6.13) sistemaning o‘ng tarafiga qo‘yib, chap tarafda echimning birinchi yaqinlashishini hosil qilamiz. Bu jaraёnni takrorlab yangi yaqinlashishlarni tuzamiz. Masalan, x^(R)= (x₁^(R),x₂^(R),...,x_n^(R))Yaqinlashish topilgan bo‘lsa, x^(k+1) yaqinlashish

x₁^(k+1) =₁(x₁,x₂,...,x_n),

x₂^(k+1) =₂(x₁,x₂,...,x_n),

.......................

x_n^(k+1) =_n(x₁,x₂,...,x_n)

kabi topiladi.

Iteraцiya jaraёni

shart bajarilguncha davom эttiriladi. Bu erda ham ilgaridagi kabi - echim aniqligi.

Chiziqli bo‘lmagan tenglamalar sistemasini echishda chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini echishda ishlatilgan Zeydel usulidan ham foydalanish mumkin.

Bunda (6.15) yaqinlashishlar quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi:

x₁^(k+1) =₁(x₁^(k),x₂^(k),...,x_n^(k)),

x₂^(k+1) =₂(x₁^(k+1),x₂^(k),...,x_n^(k)),

.............................................

x_n^(k+1) =_n(x₁^(k+1),x₂^(k+1),...,x_n-1^(k+1),x_n^(k)), k=0,1,...

Iteraцiya usulining yaqinlashish shartlarini ikkinchi tartibli sistema uchun keltiramiz.

T e o r e m a. Ikkinchi tartibli (6.13) sistemaning yagona echimi{a12

p₁+p₂M<1,q₁+q₂N<1 (6.27)

tengsizliklar bajarilsa, iteraцiya jaraёni yaqinlashadi va nolinchi yaqinlashish sifatida to‘g‘ri to‘rtburchakning ixtiёriy nuqtasini olish mumkin.