Maruza mashg’ulotlari

Chekli ayirmalar va ularning xossalari. Argumentning o'zaro teng uzoqlikda joylashgan x_i=x₀+ih ∆x_i=x_i+1-x_i=h=conts (h - jadval qadami) qiymatlarida f{x) funktsiyaning mos ravishdagi u_i =f(x_i) qiymatlari berilgan bolsin deb faraz qilaylik.

Birinchi tartibli chekli ayirmalar deb ifodaga

Ikkinchi tartibli chekli ayirmalar deb ifodaga, vahokazo

n-tartibli chekli ayirmalar deb ifodaga aytiladi.

Chekli ayirmalarni quyidagi jadval ko'rinishida ham olish mumkin.

xi	yi	∆yi	∆^2yi	∆^3yi	∆^4yi	∆^5yi	…..
X0 X1 X2 X3 X4 X5 ....	y0 y1 y2 y3 y4 y5 …	∆y0 ∆y1 ∆y2 ∆y3 ∆y4 …	∆^2y0 ∆^2y1 ∆^2y2 ∆^2y3 …	∆^3y0 ∆^3y1 ∆^3y2 ….	∆^4y0 ∆^4y1 …	∆^5y0 …	….

dan quyidagiga egamiz:

Bu yerdan ketma-ket quyidagilami keltirib chiqaramiz:

. . . . . . . .. . .. . . . .. . . .. . . .. . .. . . .. . . .. ..

.

Nyuton binomi formulasidan foydalanib, quyidagiga ega bo'lamiz:

Bundan esa:

yoki

Ko’rinishdagi formuladan foydalanish mumkin Masalan, oxirgi formuladan

kabi vahakoza qiymatlargaega bo’lamiz.

Chekli ayirmalar quyidagi xossalarga ega.

1⁰. Funksiyalar yig'indisining (ayirmasining) chekli ayirmasi funksiyalarning chekli ayirmalari yig'indisiga (ayirmasiga) teng:

2⁰. Funksiya o'zgarmas songa ko'paytirilsa, uning chekli ayirmasi o'sha songa ko'payadi:

3⁰. n- tartibli chekli ayirmaning m- tartibli chekli ayirmasi (n+m)-tartibli chekli ayirmaga teng:

4⁰. n-tartibli ko'phadning n-tartibli chekli ayirmasi o'zgarmas songa, n+1-tartibli chekli ayirmasi esa nolga teng.

Misol. Jadval qadamini h=1 va dastlabki qiymatni x₀=0 deb hisoblab, f(x)=x­­­­­­­³-3x²+6x-5=0 ko'phadning ayirmalar jadvali tuzilsin.

Yechish: f(x) ning x₀=0, x₁=1, x₂ =2, x₃=3 x₄=4 x₅=5 nuqtalardagi qiymatlarni hisoblaymiz: f(o)=-5, f(1)=-1, f(2)=3, f(3)=13, f(4)=35, f(5)=75 Bundan esa quyidagilar kelib chiqadi: ∆y₀=y₁-y₀ , ∆²y₀=∆y₁-∆y₀, ∆³y₀=∆²y₁-∆²y₀ Bu formulalar asosida jadvalni to’ldirib chiqamiz:

X	y	∆y	∆^2y	∆^3y
0 1 2 3 4 5	-5 -1 3 13 35 75	4 4 10 22 40	0 6 12 18	6 6 6

Berilgan funktsiya 3- darajaii ko'phad bo'lganligi sababli uning 3-

tartibli ayirmasi o'zgarmas son bo'lib, ∆³y=6 bo'ladi.

7-§.Nyutonning I va II interpolyasion formulalari. Xatoliklarni baholash

Aytaylik y=f(x) funksiya uchun y_i=f(x) qabul qiluvchi qiymatlari berilgan va interpolyatsiya tugunlari teng uzoqlikda joylashgan bo'lsin, ya’ni x_i=x₀+ih. Bu yerda i=0,1,..., h qiymatlarni qabul qiladi va undagi h- interpolyatsiya qadami xisoblanadi. Berilgan argumentning mos qiymatlarida darajasi h dan oshmaydigan mos qiymatlar qabul qiladigan ko'phad tuzish lozim bo'lsin va bu ko'phad quyidagi ko'rinishda bo'lsin: