Ma’ruza 8 n-tartibli determinant tushunchasi n-tatibli determinant xossalari. Minorlar va algebraik to’ldiruvchilar. Laplas teoremasi. Matrisalar algebrasi. Teskari matrisa tushunchasi

Xossa 8.15.
1.
Xos matrisalar ko’paytmasi xosdir;
2.
Agar matrisalar ko’paytmasida biror ko’paytuvchisi xos matrisa bo’lsa, u
holda ko’paytma ham xosdir;
3.
Xosmas matrisani xosmas matrisaga ko’paytmasi xosmasdir. Umuman bir
nechta xosmas matrisalarning ko’paytmasi xosmasdir.
Xuddi shu xossalarni transponirlangan matrisalar uchun aytish mumkin,
chunki
bo’ladi (ko’rsating!).
Bu xossalarni o’rinli bo’lishini ko’rsatishni o’quvchining ixtiyoriga havola
qilamiz.
matrisaning hamma 
elementlarini 
algebraik to’ldiruvchilardan tartibli
(2)
matrisani tuzib olamiz. 
matrisaga 
matrisaning biriktirilgan (yoki o’zaro)
matrisasi deyiladi. Shunday hosil bo’lgan 
yana 
qarashlidir. Endi 
va 
ko’paytmalarni topamiz:
(3)

---

diagonal matrisadan iborat bo’lib, bu yerda 
. Haqiqatan ham, 
matrisani satrini 
matrisaning ustunining mos ravishda ko’paytirib
qo’shsak, 
matrisaning satr va ustuniga
element hosil bo’lib, bu element, bizga ma’lumki, 
ga teng bo’ladi. Xuddi
shunday 
matrisani satrini 
matrisani ustunidan farqli boshqa
ustunlariga mos ravishda ko’paytirib qo’shsak,
element bizga ma’lumki, nolga teng bo’ladi. Xuddi shunday 
kommutativ
halqa bo’lganligi tufayli 
ham (3) ifodadan iborat bo’ladi. Bundan tashqari
(3) dan
tenglikni hosil qilamiz. Agar 
butun sohali halqa bo’lib, 
xosmas matrisa
bo’lsa, u holda
ni hosil qilamiz va demak 
ham xosmas matrisa bo’ladi.
Endi 
maydon bo’lib, xosmas matrisa bo’lsin. U holda quyidagi
ko’paytmasi

---

birlik matrisa bo’lib, matrisaga 
teskari matrisa
bo’ladi. Tabiiyki, 
ham xosmas matrisadir.
Misol
. 
matrisaning determinanti 
va
demak xosmas matrisa bo’lib, unga teskari matrisa mavjud. 
ning algebraik
to’ldiruvchilari
va demak tirkalgan matrisa
bo’lib, teskari matrisa
matrisadan iborat va osonlik bilan tekshirib ko’rish mumkinki

---

bo’ladi (tekshiring!).
maydonda hamma tartibli xosmas matrisalar to’plamini 
yoki 
bilan belgilab olamiz, 
. U holda 
matrisalarni ko’paytirish amaliga nisbatan nokommutativ gruppa
bo’ladi. Haqiqatan ham, 
dan 
bo’ladi,
chunki 
xosmas matrisa. Bundan tashqari 
da assosiativlik
qonuni o’rinli, aks holda u 
da ham o’rinli bo’lmasligi mumkin.
, chunki 
va nihoyat 
matrisaga 
teskari matrisa mavjud bo’lib, u xosmasdir va demak
. 
gruppaga to’liq chiziqli gruppa deb ataladi va bu gruppa zamonaviy
algebrada muhim ahamiyat kasb etadi. O’z navbatida bu gruppada markaziy
rolni o’ynovchi uning
qism gruppasidir (tekshiring!) bu qism gruppaga maxsus chiziqli gruppa yoki
gohida unimodulyar gruppa deb ham atashadi. Albatta ayrim adabiyotlarda
determinanti 
ga teng bo’lgan 
qism gruppani unimodulyar
gruppalar deb yuritiladi. Bundan tashqari
akslantirish syuryektiv gomomorf akslantirish
(tekshiring!) bo’lib, uning yadrosi
iborat bo’ladi.