Ma’ruza 8 n-tartibli determinant tushunchasi n-tatibli determinant xossalari. Minorlar va algebraik to’ldiruvchilar. Laplas teoremasi. Matrisalar algebrasi. Teskari matrisa tushunchasi

Xossa 8.8.
Agar determinantning biror satri qolgan satrlarining chiziqli
kombinasiyasidan iborat bo’lsa, u holda determinant nolga teng bo’ladi.
Isbot. Faraz qilaylik, determinantning satri 
nchi satrlarining
chiziqli kombinasiyasidan iborat bo’lsin, ya’ni 
.
U holda determinant xossa 8.2.ga asosan yig’indilarga yoyib, bu yig’indi
hadlardan xossa 8.3. ga asosan 
chiqaramiz va natijada yig’indi
hadli determinantlarda satrlari bir xil determinantlar bo’lib, xossa 21.6. asosan
ularning hammasi nollarga teng bo’ladi.
Endi biz determinantlarni hisoblashda muhim ahamiyat ega bo’lgan oxirgi
xossani keltiramiz.
Xossa 8.9.
Agar determinantning biror satrini biror-bir 
elementga
ko’paytirib, boshqa bir satriga qo’shsak, uning qiymati o’zgarmaydi.

---

Isbot. Determinantni 
nchi satrini ga ko’paytirib, 
nchi satriga
qo’shamiz:
determinantdan
.
Bizga xarakteristikasi nol bo’lgan 
maydonda 
nchi tartibli
determinant berilgan bo’lsin. Xossa 8.9.dan foydalanib, bu determinantda
yetarlicha nollar paydo qilishimiz mumkin (II tip elementlar almashtirish kabi!)
va natijada determinant, ya’ni yig’indini hisoblashni ancha yengillashtiramiz va
agarda biz determinantning xossa 8.5.dan foydalansak (I tip elementar
almashtirishlar kabi!) biz determinant uchbrchaksimon shakli yoki zinapoyali
(trapesiyasimon) shaklga olib kelamiz. Ikkinchi holat bo’yicha determinant nolga

---

teng bo’ladi, chunki nolli satrlar hosil bo’ladi, agarda determinant
uchburchaksimon shaklga, ya’ni
,
ko’rinishni olsa, u holdan determinant to’g’ridan to’g’ri foydalangan holda
hosil qilamiz. (Shuni ta’kidlaymizki, bu ishlarni II halqada ham bajarish
mumkin!).
Misol
. Ushbu determinantni determinantlarni xossalaridan foydalanib,
hisoblaymiz:
Uchburchak usuli bilan hisoblab determinant 22 teng bo’lishligiga ishonch hosil
qiling.
Biz 
kommutativ halqada (bu yerda biz 
halqa sifatida, 
sonli butun halqa va sonli maydonlar deb bilamiz va agar bizga kiritilaytgan
tushunchalar va ularni xossalarini tasvirlashda biror-bir holat yuz bermasa,
xarakteristikasi nol yoki nol bo’lmagan maydonlar deb ham qarashimiz
mumkin).
nchi tartibli kvadratik

---

matrisa berilgan bo’lsin. Bu matrisani ixtiyoriy ta satr va 
ustunlarining
kesishgan (o’chirilgan) joylaridan 
-nchi tartibli determinant tuzib olamiz.
Hosil bo’lgan determinantga 
determinantning 
-nchi tartibli minori
deyiladi.
Xususan, determinantda bitta satr va bitta ustunni (
) kesishgan joyida
bitta element bo’ladi, ya’ni determinantning elementlari ham minorlar bo’lishi
mumkin. O’chirilmay qolgan elementlaridan tuzilgan determinant 
tartibli determinant bo’lib, unga minorning to’ldiruvchi minori deyiladi. Minor
va to’ldiruvchi minorlarni qulaylik uchun 
va 
lar bilan belgilab olamiz.
Shuni ta’kidlaymizki, 
va 
determinantlar bir-birini o’zaro to’ldiruvchi
minorlar juftligi deb ham ataladi. Xususan, determinantning 
nchi satr va 
nchi ustunini kesishmasida turgan 
element birinchi tartibli va uning
o’chirilmay qolgan elementlaridan tuzilgan to’ldiruvchi minor 
tartibli
minor bo’lib, ular birgalikda o’zaro to’ldiruvchi minorlar juftini tashkil qiladi.
Agar 
tartibli 
minor 
satr va 
ustunlarining
kesishmasidan tuzilgan bo’lsa, u holda
, (2)
bu yerda 
minorning
algebraik to’ldiruvchi deyiladi.
Matrisaning bosh diagonalida joylashgan

---

va hokazolar, xususan 
ning o’ziga bosh minorlar deb ataladi.
Endi 
nchi tartibli bosh minorni o’z algebraik to’ldiruvchisiga
ko’paytmasini qaraymiz:
.
U holda
juft son bo’ladi va demak
bo’ladi. 
minorning ixtiyoriy hadi
,
unga oid o’rniga qo’yish
bo’lib, 
bo’lsin. Xuddi shunday 
minorning ixtiyoriy hadi
bo’lib, 
va bu
o’rniga qo’yishning signaturasi bo’lsin.
Hosil bo’lgan ko’paytmalarni ko’paytmasi

---

bo’lib, bu ko’paytma determinantning turli satr va ustunlaridan bittadan olingan 
ta elementlarning ko’paytmasidan iborat va -nchi tartibli determinantning
hadi bo’ladi. Endi bu ko’paytmaning ishorasi 
, xuddi shu
ishoraga 
nchi tartibli determinant ham ega bo’lishligini ko’rsatamiz.
Haqiqatan ham, bu hadning indekslaridan tuzilgan
o’rniga qo’yishning faqat 
ta inversiyasi bor, chunki hyech qaysi 
hyech bir 
bilan inversiya tuza olmaydi, ya’ni barcha 
lar dan katta
emas, barcha 
lar 
dan kichik emas.
Shunday qilib, bu quyidagi lemmani isbot qildik: