Maple da differensial tenglamalar

IV.4. Oddiy differensial tenglamalar sistemalari
noma’lum funksiyalarga nisbatan differensial tenglamalar normal sistemasi

(ODTsist)

ko‘rinishga ega;

bu yerda silliq funksiyalar, sistemaning tartibi deyiladi. Agar sistemning o‘ng tomonidagi funksiyalar o‘zgaruvchiga oshkor ko‘rinishda bog‘liq bo‘lmasa, u holda avtonom sistema (dinamik sistema) hosil bo‘ladi:



Avtonom sistema yechimlarini fazalar fazosida o‘rganish qulay. Har bir yechim fazalar fazosida parametrik ko‘rinishdagi egri chiziqni ifodalaydu. Bu egri chiziq trayektoriya deb ataladi. Avtonom sistema fazalar fazosining har bir nuqtasida tezlik vektorini, ya’ni vektorlar maydonini aniqlaydi. Dinamik sistemaning trayektoriyalari o‘zining har bir nuqtasida shu nuqtadagi (tezlik) maydon vektoriga urinadi. Trayektoriyalar uch xil bo‘ladi:

nuqta (muvozanat holati; o‘zgarmas yechim), yopiq trayektoriya (davriy yechim) va oz-o‘zini kesmaydigan trayektoriya (davriy bo‘lmagan yechim).
Agar funksiya ( ODTsist) ning har bir yechimi bo‘ylab o‘zgarmasga aylansa, ya’ni



bo‘lsa, u holda funksiya ( ODTsist) ning birinchi integrali deyiladi. funksiya ( ODTsist)ning birinchi integral bo‘lishi uchun



tenglikning qanoatlanishi yetarli va zarurdir. Agar sistemaning biror birinchi integalri ma’lum bo‘lsa, uning tartibini bittaga pasaytirish (kamaytirish) mumkin.

Agar (ODTsist) ning dona erkli birinchi integrali topilgan bo‘lsa, uning, ya’ni ( ODTsist) ning umumiy yechimi ushbu



sistemadan aniqlanadi ( ).

Differensial tenglamada (yoki differensial tenglamalar sistemasida) qatnashgan funksiyalarning barchasi analitik bo‘lganda (maxsus nuqtalar yo‘q), yechimlarni darajali qator yig‘indisi sifatida topish mumkin, ya’ni yechim ham analitik funksiyadan iborat bo‘ladi.

Ushbu

yoki

ko‘rinishdagi tenglamani qaraylik; bu yerda nuqtada analitik funksiyalar. Berilgan DTning maxsus nuqtasi regyulyar maxsus nuqta (regularsp) deyiladi. Regyulyar maxsus nuqta atrofida bu tenglama ushbu



umumlashgan darajali qator yig‘indisi ko‘rinishidagi yechimga ega bo‘ladi. Bu yoyilmani berilgan tenglamaga qo‘yib, soni va koeffitsientlar uchun tenglamalar hosil qilinadi (Frobenius metodi). Bunda soni uchun ushbu

( )