|
IV.1. Oddiy differensial tenglamalar
Qisqacha ba’zi nazariy ma’lumotlarni keltiraylik.
- tartibli oddiy differensial tenglama(ODT)ning umumiy ko‘rinishi quyidagicha:
; (1)
bu yerda ushbu erkli haqiqiy o‘zgaruvchilarning berilgan funksiyasi, erkli o‘zgaruvchi, nom’lum funksiya, uning hosilalari. Tenglamada noma’lum funksiyaning - tartibli hosilasi qatnashgan deb hisoblanadi.
Agar (1) tenglamani ga nisbatan yechsak, yuqori tartibli hosilaga nisbatan yechilgan - tartibli oddiy differensial tenglamani hosil qilamiz:
(2)
Birinchi tartibli ODTlar Maple da quyidagi sinflarga ajratilgan :
umumiy ko‘rinishi (implicit - oshkormas),
hosilaga nisbatan yechulgan (normal) ko‘rinishi.
Ushbu tenglama tekislikning funksiya aniqlangan sohasida berilgan tenglamaning yo‘nalishlar
maydonini aniqlaydi. Bu maydonning har bir nuqtasiga yechim shu nuqtada urinadigan yo‘nalish qo‘yilgan. nuqtadagi maydon yo‘nalishining o‘qi bilan hosil qilgan burchak uchun bo‘ladi.
Birinchi tartibli ODTlarning kvadraturalarda yechiladigan (yechimlari chekli sondagi integrallar orqali ifodalanuvchi) sinflarining asosiylarini keltiraylik.
Kvadratura ko‘rinishidagi (quadrature) birinchi tartibli ODT
yoki .
Bu tenglamalar osongina yechiladi:
yoki ;
bu yerda ixtiyoriy o‘zgarmas.
O‘zgaruvchilari ajraladigan (separable) tenglama:
yoki ( );
Bunday tenglamani yechish uchun uning har ikkala tomonini yoki ga bo‘lamiz va hosil bo‘lgan tenglikning har ikkala tomonini inegrallaymiz:
yoki ,
yoki , .
Natijada berilgan tenglamaning oshkormas ko‘rinishdagi yechimini hosil qilamiz. Bu yerda shini e’tirof eyaylikki, Maple differensiallar orqali yozilgan ODTni tushunmaydi. Bu tanglamani Maple uchun ko‘rinishda berish kerak.
O‘zgaruvchilariga visbatan bir jinsli A sinf (homogeneous, A class) tenglama:
.
Bu tenglamada deb, yangi noma’lum funksiya uchun o‘zgaruvchilari ajraladigan tenglamaga kelinadi. funksiya topilgach, dastlabki tenglamaning yechimi topiladi.
Bir jinsli B sinf (homogeneous, B class) tenglama:
.
Bu tenglama ham almashtirish yordamida yechiladi.
Bir jinsli C sinf (homogeneous, C class) tenglama
,
bir jinsli D sinf (homogeneous, D class) tenglama
va bir jinsli G sinf (homogeneous, G class) tenglama
.
Bu tenglamalar ma’lum algoritmlarga ko‘ra yechiladi.
Chiziqli (linear) tenglama:
.
Bu tenglama odatda Eyler-Bernulli, Lagranj (ixtiyoriy o‘zgarmasni variatsiyalash) yoki integrallovchi ko‘paytuvchi usuli bilan yechiladi. Barcha yechimlar (umumiy yechim) ushbu
formula bilan aniqlanadi; bu yerda - ixtiyoriy o‘zgarmas (Maple belgilashi).
Bernulli tenglamasi
korinishga ega. U almashtirish yordamida chiziqli tenglamaga keltiriladi.
Rikkati tenglamasi:
.
Umumiy holda Rikkati tenglamasining yechimi kvadraturalarda topilmaydi, ya’ni yechim berilgan va elementar funksiyalar orqali chikli sondagi arifmeik amallar, kompozitsiya va integrallash amallari orqali ifodalanmaydi. Agar uning biror yechimi ma’lum bo‘lsa, noma’lum o‘rniga formula bilan yangi noma’lum kiritsak, ga nisbatan chiziqli tenlama hosil qilamiz.
To‘la hosilali (exact) tenglama:
, bunda berilgan funksiya;
bu tenglamaning yechini oshkormas (implicit) ko‘rinishda beriladi.
Differensiallarda yozilgan to‘la differensialli (exact) tenglama:
(Maple uchun ),
bunda
, ya’ni ;
uning yechimi oshkormas (implicit) ko‘rinishda ifodalanadi.
Ba’zan to‘la differensialli bo‘lmagan tenglamani biror integrallovchi ko‘paytuvchi (intfactor=integrating factor) funksiyaga ko‘paytirib, uni to‘la differensialli tenglamaga keltirish mumkin.
Yechimni (parametric) parametrik ko‘rinishda ham topis
mumkin. Lagranj ( Maple da dAlembert, ya’ni Dalamber) va Klero tenglamalari mos ravishda quyidagi ko‘rinishga ega:
, .
Bu tenglamalarning yechimlarini parametr kiritish yo‘li bilan topish mumkin.
Birinchi tur Abel tenglamasi
ko‘rinishga ega. Umumiy holda u kvadraturalarda yechilmaydi. Ba’zi xususiy hollarda uning umumiy yechimi kvadraturalarda ifodalanadi. Bu tenglamani yechishda “Abel invarianti” metodi qo‘llaniladi.
Ikkinchi tur A sinf Abel tenglamasi
ko‘rinishda bo‘ladi. Umumiy holda u ham kvadraturalarda yechilmaydi.
Ikkinchi tur C sinf Abel tenglamasi
ko‘rinishga ega. Bu tenglama ham umumiy holda kvadraturalarda yechilmaydi.
Chini tenglamasi
ko‘rinishda yoziladi. Bu tenglama Rikkati ( ) va Abel ( ) tenglamalarini o‘z ichiga oladi. Tushunarliki, umumiy holda Chini tenglamasi ham kvadraturalarda yechilmaydi.
Ratsional (rational) ODT
bunda berilgan ko‘phadlar,
ko‘rinishda bo‘ladi. Umumiy holda bu tenglamaning yechimi kvadraturalarda ifodalanmaydi. Ba’zi hollarda bunday tenglamaning yechimlari Li gruppalari nazariyasi (simmetriya metodi) dan foydalanib qurilishi mumkin.
Do'stlaringiz bilan baham: |
