M sohasi: im yoʻnalis oliy V t “o iqtis matem

157 




2 5 ln 5 2 .
2




 
 Mashqni 
bajaring.
  
 1) 
2
2
y
x

 parabolaning 
0
x

 dan 
2
x

gacha boʻlgan yoyini 
Ox
  oʻqi 
atrofida aylantirishdan hosil boʻladigan sirt yuzini toping. 
 2) 


sin ,
x a t
t




1 cos
y a
t


 sikloidaning bir arkasini 
Ox
 oʻqi atrofida 
aylantirishdan hosil boʻladigan sirt yuzini toping. 
 3) 
2
2
2
2
1
x
y
a
b


 ellipsni 
O y
 oʻqi atrofida aylantirishdan hosil boʻladigan sirt 
yuzini toping. 
 Biror 
t
 vaqt davomida ishlab chiqarish jarayonining unumdorligi 
)
(t
u
y

 
funksiya bilan aniqlansin. U holda 
 
2
1
;t
t
 vaqt oralig‘ida ishlab chiqarilgan 
mahsulot hajmi 


2
1
1
2
;
( )
t
t
Q t t
u t dt


           
 
 
(11) 
tenglik bilan aniqlanadi. 
  Moddiy xarajatlarni prognozlashtirish
. Moddiy xarajatlarni 
prognozlashtirishda koʻp hollarda turli murakkab figuralar, yuzalarni hisoblash 
zarurati kelib chiqadi. Aniq integral qoʻllaniladigan mos misollarni keltiramiz.  
 10-misol.
 Kema palubasi ikkita kesishuvchi parabolani eslatadi. Agar kema 
uzunligi 80 m, markazidagi eni 20 m va har bir kvadrat metrga 0,25 kg boʻyoq 
kerak boʻlsa, uni boʻyash uchun qancha boʻyoq zarur.  
 Yechish.
 Koordinatalar sistemasini quyidagicha kiritamiz. Koordinatalar 
boshini kema markaziga, 
Ox
 oʻqini esa paluba boʻylab joylashtiramiz  
 
 
Paluba yuzini topish uchun parabolalardan birining tenglamasini aniqlab 
olamiz. Parabolaning umumiy tenglamasi 
2
y ax
bx c

   koʻrinishiga ega. 


0
,
40

 


0
,
40
, 


10
,
0
 nuqtalar parabolaga tegishli boʻlgani uchun ular parabola 
tenglamasini qanoatlantiradi: 
2
40
40
0
a
b
c

   
, 
2
40
40
0
a
b
c

   
, 
10
c

. 

 
158 
Ushbu tenglamalar sistemasining yechimi quyidagi sonlar hisoblanadi. 
1
160
a
 
, 
0
b

, 
10
c

. Shunday qilib, izlanayotgan parabolaning tenglamasi 
2
10
160
x
y
 

 koʻrinishga ega. Kema yarim palubasining yuzi  
40
40
2
3
40
40
10
10
160
160 3
x
x
S
dx
x









 












 
40
40
4
1600
1600
400 400 400
160 3
160 3
3
 









. 
Palubaning yarmini boʻyash uchun 
400
0,25
( )
3
S
kg


 boʻyoq zarur. Butun 
palubani boʻyash uchun esa 
400
2
2
266,7( )
3
S
kg
  

 boʻyoq zarur boʻladi. 
 
Pul oqimini diskontlash (“diskont” – chegirma).
 Diskontlash masalasi 
%
i
 
foiz stavkasi bilan 
n
 yilga qoʻyilgan 
0
S  miqdordagi pulning oshgan 
 
n
S
 
qiymatini 
topish masalasiga teskari masala hisoblanadi. Bu holda  
0
S  boshlang‘ich pulni 
n
 
vaqtdan keyin uning oshgan miqdori 
 
n
S
 
boʻyicha 
%
i
 foiz stavkasida aniqlash. 
 
 
 

n
S
n
 
yillardan olingan yakuniy pul boʻlsin va  
0
S  boshlang‘ich pul 
boʻlsin. Agar foizlar oddiy boʻlsa u holda har bir 
n
 
yil yakunida 
 
n
S
 
pul jamg‘arma 
bankida oʻtgan 
1

n
 
yilga nisbatan 
0
S  boshlang‘ich pulning 
i
 foizga oshadi:  
 


0
100
1
S
i
n
S
n
S



 
Birinchi yil yakunida hosil boʻlgan pul  
 





 



100
1
100
1
0
0
0
i
S
S
i
S
S
ni 
Ikkinchi yil yakunida  
 
1
0
0
0
0
2
1
1 2
100
100
100
100
i
i
i
i
S
S
S
S
S
S




 













 ni, 
n
 
yil yakunida:  
 
 
)
100
1
(
0
n
i
S
n
S


 ni tashkil qiladi. Shuning uchun agar foizlar oddiy boʻlsa, 
u holda diskontlangan pul 
 
0
1
100
S n
S
i
n


 formula boʻyicha hisoblanadi.  
 Yuqorida 
koʻrsatilganidek, murakkab foizlar qoʻshilganda, u holda yakuniy 
pul 
 
,
)
100
1
(
0
n
i
S
n
S


   
N
n

 formula boʻyicha hisoblanadi. Foizlar uzluksiz 

 
159 
qoʻshilganda 
 
100
0
,
in
S n
S e




 ;
0
n
 formula boʻyicha hisoblanadi. Bu yerdan 
diskontlangan pul (bu holda dastlabki mablag‘) 
n
 
vaqt momentiga kelib murakkab 
foizlar holda 
 
,
)
100
1
(
0
n
i
n
S
S


 foizlarning uzluksiz qoʻshilishida esa 
 
100
0
in
e
n
S
S


 ga 
teng boʻladi. 
 
Endi faraz qilamizki, pullar bankka  
0

n
 
vaqtning boshlang‘ich momentida 
birdan emas doimiy ravishda qoʻyilsin va 
 
n
S
0
 uzluksiz funksiya bilan 
ifodalanadigan pul oqimini ifodalasin. U holda 


T
;
0
vaqt bankka qoʻyilgan 
d
U
umumiy pul aniq integralni ifodalaydi: 
 
 
 
100
0
0
0
.
T
T
in
d
U T
S n dn
S n e
dn





 
Bu yerda 
 

n
S
 
har yili tushadigan daromad. 
 
T
U
d
kattalik 


T
;
0
vaqtdagi diskont 
pul deyiladi.  
 11-misol.
 Yillik daromad 
1000
 pul birligini tashkil qilishi uchun, jamg‘arma 
bankiga yillik 
10%
 ga 


T
;
0
 davrda qancha pul qoʻyilishi kerak, faraz qilinadiki 
foizlar uzluksiz qoʻshiladi.  
 Yechish.
 Masala shartiga koʻra barcha 
 
0;T  da 
 
0
1
S n
  (ming birlik), 
shuning uchun  
 
 
10
0,1
100
0
0
0
1
10
10
n
T
T
T
d
U T
S n dn
e
dn
e





 



 (ming pul birl). 
Xususan, 
3

T
 yilda  
 
0,1 3
3
10
10 2,59
d
U
e
 
 


(ming pul birl). 
 
Shunday qilib uch yil davomida yillik daromad ming soʻm pul birligini (uch 
yilda 3 ming pul birligini) tashkil qilishi uchun, jamg‘arma bankiga 2,59 ming pul 
birligini qoʻyish kerak. Uch yilda foyda 0,41 ming pul birligini tashkil qiladi. 
10
T

 yilda  
 
0,110
10
10
10 6,32
d
U
e
 
 


(ming pul birl) 
Oʻn yilda foyda 3,68 ming pul birligiga yaqin boʻladi. 
 Istе’molchilаrning ortiqchа foydаsi. Ishlаb chiqаruvchi 
(tа’minotchilаr)ning ortiqchа foydаsi. 
Bozordа muvozаnаt nаrx oʻrnаtilgаndаn 
soʻng mаhsulotni yuqoriroq nаrxdа sotib olmoqchi boʻlgаn istе’molchilаr  uni 
muvozаnаt narxidа sotib olish oqibаtidа  qаndаydir yutuqqа egа boʻlаdilаr.  Аnа 
shundаy istе’molchilаr yutuqlаrining yig‘indisi istе’molchilаrning ortiqchа foydаsi 
dеb аtаlаdi. 

 
160 
 Grаfik mа’nodа istеmolchilаrning ortiqchа foydаsi tаlаb egri chizig‘i, 
ordinаtаlаr oʻqi vа  аbsissаlаr oʻqigа  pаrаllеl vа bozor muvozаnаti nuqtаsidаn 
oʻtuvchi toʻg‘ri chiziq bilаn chеgаrаlаngаn figurа yuzаsigа tеng dеb tаsаvvur qilish 
mumkin. 
 
 Istе’molchilаrning ortiqchа foydаsi 
CS
 bilаn bеlgilаnаdi vа quyidа  аniq 
intеgrаl yordаmidа topilаdi.  
 
0
0
0
0
Q
CS
P Q dQ P Q



 
 Ishlаb chiqаruvchi (tа’minotchilаr)ning ortiqchа foydаsi tа’minotchilаr oʻz 
mаhsulotini bozordаgi muvozаnаt nаrxdа sotgаndа hosil boʻlаdigаn umumiy 
foydаlаrini ifodаlаydi vа u quyidаgi formulа yordаmidа topilаdi:  
 
0
0
0
0
Q
PS
P Q
P Q dQ



 
 
Gеomеtrik mа’nodа  tа’minotchilаrning ortiqchа foydаsini tаklif egri 
chizig‘i, ordinаtаlаr oʻqi vа  аbsissаlаr oʻqigа  pаrаllеl vа bozor muvozаnаti 
nuqtаsidаn oʻtuvchi toʻg‘ri chiziq bilаn chеgаrаlаngаn figurа yuzаsigа  tеng dеb 
tаsаvvur qilish mumkin. 
 
 12-misol.
 Biror tovаrgа tаlаb 
70 4
d
P
Q
 
funksiya bilаn bеrilgаni mа’lum. 
Bu  еrdа 
  mаhsulot miqdori (donа), 
 bir birlik mаhsulot nаrxi, tаklif esа 
5
s
P
Q
 
 
funksiya bilаn bеrilаdi. 
 
а) ushbu mаhsulotni sotib olishdаn istе’molchilаr ortiqchа foydаsi 
miqdorini; 

Q

P

 
161 
 
b) ushbu mаhsulotni sotishdаn ishlаb chiqаruvchining (tа’minotchining) 
ortiqchа foydаsini hisoblаng. 
 
Yechish.
 а) Uning kаttаligini oʻlchаsh uchun 
d
s
Q Q

 tenglikdan nаrxning vа 
bеrilgаn mаhsulot miqdorining muvozаnаt qiymаtlаrini  аniqlаsh zаrur. 
7 0
4
5
Q
P
Q


 
 
7 0
5
4
Q
Q



 
5
6 5
Q

 
1 3 .
Q

13
Q

  da 
18.
P

 
Istе’molchilаr ortiqchа foydаsi formulаsidаn foydаlаnib topаmimz: 




13
13
0
0
13
2
0
13 18
70 4
234
70
2
234
910 338 0
234 338.
CS
PdQ
Q dQ
Q
Q

  










 





 
 b) 
Tа’minotchining ortiqchа foydаsi kаttаligi: 


13
13
0
0
13 18
234
5
PS
PdQ
Q dQ
  






 


13
2
0
1
234
5
234
65 84,5 0
84,5.
2
Q
Q














 
 
Kobb-Duglas  funksiyasi asosida ishlab chiqarish hajmini aniqlash. 
Ishlab chiqarish unumdorligining oʻzgarishi turli xil omillar ta’siri hisobiga 
funksiyani qoʻllashga bog‘liq, masalan, bunday funksiya Kobb-Duglas funksiyasi 
deb nomlanadi. Bunday holda 
 
f t
 unumdorlik uchta koʻpaytuvchilarning 
koʻpaytmasi koʻrinishida tasvirlanadi. 
 
     
0
,
f t
a A t L t K t




 
bu yerda 
   
,
,
A t L t
 
K t
 funksiyalar tabiiy resurs, mehnat va kapital 
xarajatlarining miqdori  
0
, , ,
a
  

biror sonlar. 
 13-misol.
 Agar Kobb-Duglas funksiyasida 
 
,
t
A t
e

 
  

2
1 ,
L t
t
 
 
  

2
100 3
,
K t
t


 
0
1,
a

 
1,


 
0, 5
 
 
  (tvaqt yillarda) boʻlsa, besh yil uchun 
mahsulot chiqarish hajmini toping. 
 
Yechish.
 (11) formuladagi 
 
f t
 samaradorlik funksiyasiga qoʻysak, 
quyidagini olamiz: 
 





5
5
2
0
0
0;5
1 100 3
3
97
100
.
t
t
Q
e t
t dt
e
t
t
dt









 
Ikki marta ketma-ket boʻlaklab integrallash formulasini qoʻllab quyidagi natijani 
olamiz: 
 




5
5
5
2
0
0
0
0;5
3
97 100
97 6
6
64825.
t
t
t
Q
t
t
e
t e
e
 






 
 
 

 
162 
Oʻz-oʻzini tekshirish uchun savollar 
1.
 
Egri chiziqli trapetsiyaning yuzi deganda nima tushuniladi?  
2.
 
Integral yig‘indining geometrik ma’nosi nimadan iborat? 
3.
 
Aniq integral ta’rifida 
0


 da 
n

 boʻlishini qanday tushuntirasiz?  
4.
 
Aniq integralning mavjud boʻlishining zaruriy sharti nimadan iborat? 
5.
 
Qanday funksiya integrallanuvchi deyiladi? 
6.
 
Darbu yig‘indilari integral yig‘indi boʻla oladimi? 
7.
 
Nyuton-Leybnits formulasi qanday keltirilib chiqariladi? 
8.
 
Aniq integralda oʻzgaruvchini almashtirish qanday bajariladi? U aniqmas 
integralda oʻzgaruvchini almashtirishdan nimasi bilan farq qiladi? 
9.
 
Aylanma jism hajmini hisoblash formulasini yozing. 
10.
 
Egri chiziq yoyi uzunligini hisoblash formulasini yozing. 
11.
 
Yassi sirt yuzini hisoblash formulasini yozing. 
12.
 
Vaqtning ma’lum oralig‘ida jamg‘arma bankiga tushgan pul miqdorini 
aniqlash. 
13.
 
Vaqtning ma’lum oralig‘ida ishlab chiqarilgan mahsulot hajmini aniqlash. 
14.
 
Istе’molchilаrning ortiqchа foydаsini hisoblash.  
15.
 
Ishlаb chiqаruvchi (tа’minotchilаr)ning ortiqchа foydаsini hisoblash. 
 
 
36-mavzu. Xosmas integral. Aniq integralni taqribiy hisoblash 
 
Reja: 
36.1.
 
I tur xosmas integrallar. 
36.2.
 
Xosmas integrallarning iqtisodiyotdagi tatbiqlari. 
36.3.
 
II tur xosmas integrallar. 
36.4.
 
Xosmas integrallarning yaqinlashishi. 
36.5.
 
Aniq integrallarni taqribiy hisoblash usullari. 
 
 Tayanch 
soʻz va iboralar: 
xosmas integral, yaqinlashuvchi xosmas 
integral, uzoqlashuvchi xosmas integral, integral, chegeralangan funksiya, uzliksiz 
funksiya, integrallash oraligi, uzulish nuqtasi. 
 
 Bizga 
ma’lumki, 
)
(x
f
y

 funksiya ixtiyoriy 

; ]
a b  oraliqda aniqlangan va 
integrallanuvchi boʻlsa, u holda
 
( )
b
a
f x dx

 
 
 
 
 
 
(1) 

 
163 
integral mavjud. Agar (1) integralning yuqori chegarasi uchun 
b
  , yoki quyi 
chegarasi uchun 
a
 , yoki ham yuqori ham quyi chegaralari uchun 
,
b
a
 
 
 munosabat oʻrinli boʻlsa, u holda (1) integral I tur xosmas 
integral deb ataladi. Shunday qilib I tur xosmas integral quyidagi koʻrinishlarda 
boʻlishi mumkin: 
( ) ,
( ) ,
( )
b
a
f x dx
f x dx
f x dx







   (2) 
(2) xosmas integrallardagi integral osti funksiyalarning aniqlanish sohasi mos 
ravishda quyidagi oraliqlardan iborat boʻladi: 
[ ,
), (
, ], (
,
)
a
b
 
 
. (2) 
integrallarni hisoblash quyidagicha amalga oshiriladi: 
( )
lim
( ) ,
( )
lim
( ) ,
( )
lim
( )
lim
( ) ,
(
,
)
b
b
b
b
a
a
a
a
b
c
a
c
a
b
f x dx
f x dx
f x dx
f x dx
f x dx
f x dx
f x dx
c












   







 (3) 
 
Agar (3) ifodanng oʻng tomonidagi limit osti integrallar mavjud va chekli 
boʻlsa, u holda ifodaning chap tomonidagi xosmas integrallar yaqinlashuvchi, aks 
holda esa ular uzoqlashuvchi deyiladi. 
 1-misol.
1
2
dx
x


 xosmas integrallarni yaqinlashuvchilikka tekshirish 
quyidagicha amalga oshiriladi:  


1
1
1
lim
lim
lim
1
.
2
2
b
b
b
b
b
dx
dx
x
b
x
x







  


 
Demak, bu xosmas integral uzoqlashuvchi. 
 2-misol.
 
2
1
dx
x




 xosmas integrallarni yaqinlashuvchilikka tekshiring. 
 
2
1
dx
f x
x


 integral osti funksiyasi butun son oʻqida aniqlangan va uzluksiz. 
Funksiya juft funksiya. Shuning uchun 
 
 
0
2
.
f x dx
f x dx






 
2
2
0
0
0
lim
lim
0
.
1
1
2
2
b
b
b
b
dx
dx
arctgx
x
x







  




 
integral yaqinlashuvchi.  Demak, berilgan xosmas integral yaqinlashuvchi va 

ga 
teng. 

 
164 
 3-misol.
 
1
2
dx
x



 xosmas integrallarni yaqinlashuvchilikka tekshirish 
quyidagicha amalga oshiriladi:  
1
1
1
2
2
1
1
lim
lim
lim 1
1
a
a
a
a
a
dx
dx
x
x
x
a



























. 
Demak, bu xosmas integral yaqinlashuvchi. 
 
Mashqni bajaring.
 Quyidagi xosmas integrallarni yaqinlashuvchilikka 
tekshiring:  
1)
1
1
dx
x



;        2) 
5
4
1
(
)
dx
ax b



;           3) 
2
2
dx
a
x




;           4) 
1
7
3
dx
x



.